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  • 2022-06-19
    设 K 是惟一分解整环,又[tex=6.286x1.286]Gb9ARy1wIBQNO46LZPCsb/7LKOhSR3PxvvK3ifFqV7c=[/tex]且[p=align:center][tex=8.214x1.357]UBOQ/D7EapUolc6uePws69AkF4QCjvbEHCaf1arho6M=[/tex]证明:在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]的商域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中,若[tex=0.857x2.143]nSvcHuaAckXMHW8ZsUYRfw==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的根,则[p=align:center][tex=10.429x1.357]HowHgnuQZZppR7tMxvh0TVl2lB9s+9b3SG53Q90KJws=[/tex].
    • 证  因[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是惟一分解整环,所以[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]及[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]都是惟一分解整环. 又在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中[tex=0.857x2.143]nSvcHuaAckXMHW8ZsUYRfw==[/tex]是 f(x) 的根,故在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中[tex=5.857x1.357]E4i3PXfvevIhEpwvK6MX5AAkCOMcZVXsTrdj2z3wd7c=[/tex], 不妨设[p=align:center][tex=7.786x1.357]ug4XhaTro52LjNS7YmCbX4jz/HT69GN66lUEyLksv0A=[/tex]则由[tex=7.214x1.357]yZncS5rWYQaVTc5cXYuNvpRKXNjCDebLm4IGieu4EnE=[/tex]为[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中的本原多项式,易知[tex=4.571x1.357]IgHosjLgNqqi335Ym7yzxQ==[/tex],故[tex=2.429x1.0]CN/1pboBqLxTG+spiDy+LQ==[/tex]及[tex=2.643x1.143]A7QdbNzJc1JgUX490A6VTw==[/tex]分别代人上式可得[p=align:center][tex=16.643x1.357]C+KsN4Tq0gcASZdaevfD2fHYhUwHXVFalsyGwzQFxsGubovBdch04qNS7JsMZIKA[/tex]故在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]中有[tex=10.429x1.357]HowHgnuQZZppR7tMxvh0TVl2lB9s+9b3SG53Q90KJws=[/tex]
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    举一反三

    内容

    • 0

      6个顶点11条边的所有非同构的连通的简单非平面图有[tex=2.143x2.429]iP+B62/T05A6ZTM0eeaWiQ==[/tex]个，其中有[tex=2.143x2.429]ndZSw3zT0QTOVLVdoUto1Q==[/tex]个含子图[tex=1.786x1.286]J+vVZa2YaMpc6mJBbqVvWw==[/tex]，有[tex=2.143x2.429]lmhx48evnQMhi03NovPXig==[/tex]个含与[tex=1.214x1.214]kFXZ1uR8GjycbJx+Ts2kyQ==[/tex]同胚的子图。供选择的答案[tex=3.071x1.214]3KinXFh3SXhZ7nIe1y9KEV6aadxhhJWeEy6Dij1iObdMUZkY6ZA5J2dVVjPSuhEf[/tex]：(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 ; (4) 4 ;(5) 5 ;(6) 6 ; (7) 7 ; (8) 8 。

    • 1

      设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：域[tex=4.929x1.357]njosFGDO7yvJFVSOTQJupg3OOMyVps/xfdnFE6MhqbY=[/tex]中的每一个元素都可以惟一地表示成[p=align:center][tex=16.143x1.5]zQdyJRLizma4ddoPjtTsQbUeTnBBFPQDleICij4IJfuVTEg231F6ecvf2oa3hp1tBjTVvzhBhTzt+rNDtZZ4sr5+/vz3wC836E6VsnpPjAA=[/tex]

    • 2

      证明   设[tex=2.929x1.357]f8vXhXZkntbtcn5YtNszyA==[/tex]为循环群. （1）如果[tex=3.143x1.357]+ffGqEoCaO1XtD5rcTB2lg==[/tex],则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的全部子群为[p=align:center][tex=10.0x1.571]ASO79Lx7XorIzXfD+OkCX2aw3jZQI9gX9hIKxPpEoHVfIf8jaMNsVAI3GKreTubJeTAOApOyglKnt7BLTl+WYZ4hCtb/6NuRQOp+iQCSiHw=[/tex].（2）如果[tex=3.0x1.357]o/dVgihcop3NMKmdwvgkeQ==[/tex]则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的全部子群为[p=align:center][tex=3.857x1.571]ho2B7oQoeaJgTzqz5bQYfbOIXX6Nns7PiwvcUM/c6htf+U69GXScKgmyziwSNCkFVSjjsPHGOR5r/3zKWR4nMg==[/tex] 为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的正因子 .[p=align:center][br][/br][p=align:center]

    • 3

      判断下列命题是否为真：（1）[tex=3.643x1.357]/5abqJjwKZ1qr+6hsVFF5EBvfq3ggOFNlHMClz0h9nk=[/tex]（2）[tex=2.929x1.357]rGJpyjIjJpbcoBTWxP0Jiw==[/tex]（3）[tex=4.5x1.357]2wycHMoqU83MyEp17iBils58bR7YLuCTI2G9NVAdlfY=[/tex]（4）[tex=5.214x1.357]CTz2gu+IIm1GgNmYMGaduCRtA41wnW4WqwRWwEhq6aA=[/tex]（5）[tex=4.857x1.357]1DcE2BMMOaZhTuxR/mjgsboXxfg5ET59Dp4I/jjEDuw=[/tex]（6）[tex=4.643x1.357]BSryrsQYOvTP2hTWRu6t4nAuJwlSs4L9jaq70EpB+Us=[/tex]（7）若[tex=6.0x1.357]y0IZLUnBO88nR8WBZYvd7QXv5S1OMINV5cQNzPyiyAc=[/tex]，则[tex=3.429x1.357]1brfPwTkVVIX4GfoMIUskA==[/tex]（8）若[tex=7.643x1.357]MhLfJXZnhbXiB0x3oNtFzThV4Y1mJxe1VYr7PkJE/T6hmTD3WWp+UxbNwvUQ6DHk[/tex]，则[tex=4.143x1.357]LZUA94ISo1po5HWsOVeBCjo0rMvj7uw3bGw5HiZenrI=[/tex]

    • 4

      证明   设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环, 则映射[p=align:center][tex=5.143x1.214]4huI4vPuOC5DwSwh9v+pqmZ8zIR4uMpqJJGCJdNZD5284UHYZUBluqcDPeiVBFsU[/tex][p=align:center][tex=3.857x0.786]xjKJOk7jgWMso5Sqhr+k7m3CrOAppVSxOnlWEawUee8=[/tex]是环 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态.