在 [tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex] 平面上求一点，使得它到 [tex=4.071x1.214]S9QaZCpsgrAAV4gEnRM2IQ==[/tex] 及 [tex=5.857x1.214]IMk9N3I6yRmgsMVCl/Y76A==[/tex] 三条直线的距离平方之和最小。

2022-06-17

在 [tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex] 平面上求一点，使得它到 [tex=4.071x1.214]S9QaZCpsgrAAV4gEnRM2IQ==[/tex] 及 [tex=5.857x1.214]IMk9N3I6yRmgsMVCl/Y76A==[/tex] 三条直线的距离平方之和最小。

答案：

解：[tex=1.857x1.214]8Jq+t3diUX2TZkg4g2eXMA==[/tex]平面上点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 到 [tex=4.071x1.214]S9QaZCpsgrAAV4gEnRM2IQ==[/tex] 及 [tex=4.143x1.214]5nxfZ48DlbvA2fYgZIiNxg==[/tex] 三条直线的距离分别为[tex=7.0x2.714]KBU1/0YVqXwT9/ix9FewpxvVcw55QGdTjE2m7VS+nSiw5c7th6l88rGwOMU8R7+o[/tex]问题是求函数 [tex=12.857x2.5]gzYgV/wLp/4IMx4DcSm9WgIswGH4eGQI3gs6fjnf4cU90yFqlUYc648NaAXSusPm[/tex] 的最小值。先求该函数的驻点。解方程组[tex=14.786x5.214]GE56u9QCDTqcLxZ66HADynyPE3H9weMNYLhgnkLBjhEpY9rJgOhLSqSZEQMhdZu0I4ZaQWfsE4lLEsoHWfVoAGSKPFl+SBkeS2a7BCM44rr7qiA/rDAqO6p2NKH/L4Yr61ICabcmvRBPhAkv6IIn69s0BBqcjsJVbGkMefShjqrDdc3jTQVPaOz7Zyr95Uoxpj1YXUK1M8nmkU66TJljEQ==[/tex]求得驻点 [tex=5.0x2.786]/JjnFYBGIha8zQBM7W3ZbpNOjn7nGqoKeqjxVIG9XJNyK80XYHm+VzCJKdTH5sW3[/tex]。再求二阶偏导数，得[tex=8.714x7.214]zEkt6eRgOxUF2T3s43LIS/YhM3a2w7jTAtH9zpZ1a452uBn0EDrTu3dtd6TFC3B7Ty9iwSUe5V5bQKqgOyaWxIgX9b6XTCGEA9IujsAYCGqmBjiU0m8YwX4FUEi7fWIMgBkO3NGEqbC8Yw0OilhSAUf29tWLRimwn4SPqZOKyiyelKMitkDPXFB7uU4/f5+jCaqR01FX/nFPpcd2NWKS3YmqkCIK1AqqfdbgZLLvrus=[/tex]在驻点 [tex=5.0x2.786]/JjnFYBGIha8zQBM7W3ZbpNOjn7nGqoKeqjxVIG9XJNyK80XYHm+VzCJKdTH5sW3[/tex] 有[tex=8.143x2.357]bOfoBsTyanbwY00qOwsafGgHJdZ1AUZRzcgPr91etq2VFnTHEx9KWGxhr4wLbkyv[/tex][tex=10.071x2.357]xQkaFxhCd/igrjKzlWCY+LogXiw/xbLkqZdINaDji14=[/tex]因此，在点 [tex=5.0x2.786]/JjnFYBGIha8zQBM7W3ZbpNOjn7nGqoKeqjxVIG9XJNyK80XYHm+VzCJKdTH5sW3[/tex] 处取极小值。又 [tex=5.0x2.786]/JjnFYBGIha8zQBM7W3ZbpNOjn7nGqoKeqjxVIG9XJNyK80XYHm+VzCJKdTH5sW3[/tex] 是唯一的驻点，而根据该问题，到三直线距离平方之和最小的点一定存在，故点 [tex=5.0x2.786]/JjnFYBGIha8zQBM7W3ZbpNOjn7nGqoKeqjxVIG9XJNyK80XYHm+VzCJKdTH5sW3[/tex] 为所求。

举一反三

内容

0
在平面 [tex=5.143x1.143]MRiWS7OsCrIWkFCituptDw==[/tex] 上求一点, 使它到两点 [tex=8.286x1.357]27zI2I3iUGJmTNIBJviiUk08hwhblFLxBgOXevFpVOo=[/tex] 的距离平方之和为最小 .
1
已知动点[tex=4.214x1.357]fpHyqIXuIbbJXxmg3mYifw==[/tex] 到平面 [tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex]的距离与点[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 到点(1, -1, 2)的距离相等，求点[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]的轨迹方程.
2
在 [tex=1.571x1.0]59Vr7gFzrIoM2z8c71HoZA==[/tex] 面上求一点，使它到 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴、[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴及直线 [tex=4.929x1.214]sLou6pZoaUG+KDOnUMxU+A==[/tex] 的距离的平方和最小。
3
在[tex=1.857x1.286]j9TayWzddHzM0PQ/gL6C3Q==[/tex]面上求一点，使它到直线 [tex=2.357x1.286]F20DA9b5PZyvxJH27l4LOQ==[/tex]、直线[tex=2.357x1.286]+lfyPLkaB2aZzha73p3Bvg==[/tex]和直线[tex=6.714x1.286]BrT0JUS8E6+KG9A7PZUsZw==[/tex]的距离的平方和最小．
4
求平面场（仅看作在[tex=1.857x1.214]8v+QaGH4dkCVbzRhgAvkuw==[/tex] 平面上）的分层曲线：[tex=3.357x1.5]ym1udAbF2wps8bNi7tzA+g==[/tex]