设[tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex]为同阶正定矩阵，证明：[tex=2.286x1.143]2zmmF6+x7+n6wGG+8KOAbQ==[/tex]也是正定矩阵. [br][/br]

2022-06-16

设[tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex]为同阶正定矩阵，证明：[tex=2.286x1.143]2zmmF6+x7+n6wGG+8KOAbQ==[/tex]也是正定矩阵. [br][/br]

答案：

证 不妨设[tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定矩 阵，由定义知对任意[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维非零列向量[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex], 都有[tex=4.214x1.286]hn8vRH9P38cLyv7Dy1oWiEaDEsoEHL4h12S9fY24/mw=[/tex], [tex=4.214x1.286]4URtKvrvQy0NtfUeB+1KonmKCYbhpNVuXs3KG2woRNc=[/tex], 从而 [tex=6.5x1.5]HHhsSbxvq0zS0BHxiKv05dAW9CvQzSoCsIOdpLGiTis=[/tex] .又因为[tex=7.571x1.5]FJvQoMfpw8EWddPQGRqtYnBmwbWI5oHee+Fzy7tBNm41EgjLC9yXBoiblpBSHY4X[/tex][tex=3.071x1.143]RzS35BoryrUOxkSFfr8d0A==[/tex], 所以 [tex=2.286x1.143]2zmmF6+x7+n6wGG+8KOAbQ==[/tex]也是正定矩阵.

举一反三

内容

0
设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定矩阵，证明 [tex=2.286x1.0]cODRs3LlUK/sz34bAVFlUg==[/tex] 也是正定矩阵。
1
设[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]，[tex=0.929x1.0]GTnOCR9hNPsOuxGSyBGTAE4D+bwdNZdKWKqAkIkho7A=[/tex]都是正定矩阵，证明：[tex=3.0x1.143]O8o/cZDTF8ipMqduQHBWgi6pxFN4tTQV4LSHcTIya2I=[/tex]也是正定矩阵．
2
设 [tex=2.286x1.214]N8WVEUSbiez8ysjtBlV0Dg==[/tex]分别为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶、[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定矩阵，证明：矩阵 [tex=5.214x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vFgmGw4YpjjLNUpHC7uMFJjICUyeLM9Ie6rlAa/40BUhAsmOomvUa7WNsWvkeQozyBI/92MbNNylDQaG5nGHMZBrxFsmzDkqHn25bIkcDLK3CFVFc6YKMLp9xad5wJh2lg==[/tex] 也是正定矩阵。
3
证明: 设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]分别为[tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex]阶正定矩阵，则分块矩阵[tex=7.0x2.786]3FAQJGao+NWjhr2M60sqCmdeDA7TuDWrnpStZW5CZick8l4H5WXvjBIvz00DN32NcvLxIbvUc6ZsSjQIzSJc+g1NEnTFjvOFllrPJ28ct2jkhRIRcI89DywuL8qHekFisiEaui9473ovIuiQ/zMMEiWnZcKmZd9hE/kCQmimlp4=[/tex]也是正定矩阵.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定矩阵，证明[tex=2.286x1.143]cCTnJPOzJnKbc3MpDCUIow==[/tex]的行列式大于 1 。