设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]为正定矩阵，证明分块对角矩阵[tex=6.643x2.786]Nw/iCPiBfAazOGg7nvEajgPBAQuUM8o217spfRqUWnvKn6MUeZ+gJ/BH9Xgze23H2LbbuUCHbmybt74rPJ3O9Q==[/tex]也是正定矩阵。

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2022-06-16

设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]为正定矩阵，证明分块对角矩阵[tex=6.643x2.786]Nw/iCPiBfAazOGg7nvEajgPBAQuUM8o217spfRqUWnvKn6MUeZ+gJ/BH9Xgze23H2LbbuUCHbmybt74rPJ3O9Q==[/tex]也是正定矩阵。

答案：

[b]证明[/b]   易知[tex=2.786x1.214]boLEpVFH2t/lHSufaZjAyg==[/tex]，所以[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]为对称阵。设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]分别是[tex=1.929x1.0]ZTU2Ww1QcEglvNsFqQ/Gaw==[/tex]阶正定矩阵，对任意非零向量[tex=8.286x1.571]vcZ+zZTE4JlZYXra/QFhXfykG7pSSKvNn951Ix74jZ8/8sOSQeQ+3lgRzzhXtJfW[/tex]，记[tex=7.214x1.571]OnqrEepoJkskVMbhboJoze1AjrbLleMX0T4Mc2VRytjGV1xdGNjNhcICnj1FXlF7[/tex]，[tex=9.357x1.571]hVijlDa8GbPShR0ThJexZ7JzsTyXSt7FbuzijaGTxIrjhULQdYeRok/UkXIIsq0R[/tex]，则[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]与[tex=0.5x0.786]gdMkE6SnyZedYLxpUxdkaQ==[/tex]不同时为零向量，于是[tex=3.143x1.214]AaAhdhxrXh3CD0ksttL1vg==[/tex][tex=3.286x1.571]fIJnMnl+f8n6FZHEn51FKM0dDEEmrj5N8SCZEi2J3W4=[/tex][tex=8.786x2.786]075gCzZzsMRb6HYXYk9X90FUmHrBxkXUsru2e5CXeu1HN25N/dHCK2YzW73YXuUDHDOPRLH08Of324nxxAHfhnJVhl/dqxo75VDcjewUsgryu5mbX7K/pWLomqKIu+LYsPTvtHfRBtGxvzjwu3w3Lw==[/tex][tex=7.0x1.429]2mQ6lMoiNucWVqfRCFirzPvKgNEk16hnd4DHqcEJseE=[/tex] .因此[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]是正定矩阵。

举一反三

内容

0
证明：设A,B分别为m,n阶正定矩阵，则分块矩阵[tex=7.0x2.786]g7wyRhWruAXx0N1FMyvESmIt6FOA2RGPUh4uj9LZIMpQy6Wb/xyznP/Jr/8gYY0qU4X8c0k+fYFZcXoKIyawYsKM8I9lv7WJha+xudIX1zE4ZfdbiUHMJmMNztJOUR48ezMSY8hqqZWoKam1Pb4fSaIM7rn/zpSn977mHwQz1cQ=[/tex]也是正定矩阵.
1
设[tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex]为同阶正定矩阵，证明：[tex=2.286x1.143]2zmmF6+x7+n6wGG+8KOAbQ==[/tex]也是正定矩阵. [br][/br]
2
设A,B均为n阶正定矩阵,证明[tex=2.571x1.0]WccFGH0Sag9UszFhapFwng==[/tex]也是正定矩阵.
3
证明：如果 [tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex]为正定矩阵，则[tex=0.929x1.0]JkZEjSnuwtkZlFnZMXvQ5Q==[/tex] 的伴随矩阵也是正定矩阵。
4
证明性质7.4.1：设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，则（1）[tex=1.286x1.286]I/09VlJojFBZQlWpvi/KHQ==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意正实数。（2）[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]为正定矩阵。（3）[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]为正定矩阵。（4）[tex=1.214x1.286]861032IuvLpLlBDX6HDk6Q==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意整数。（5）[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]为可逆实矩阵。