设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex] 分别为[tex=1.929x1.0]ZTU2Ww1QcEglvNsFqQ/Gaw==[/tex]阶正定矩阵，试判定分块矩阵[tex=6.286x2.786]hckPS0WZ5y9Dy8+em27JdRWKdrPlGF6yQQah3mA0A3/zHm8p+JbPAYkttdmJcB8XwY+mWiwXOnI3GUds+g/H2Q==[/tex]是否为正定矩阵．

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2022-06-16

设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex] 分别为[tex=1.929x1.0]ZTU2Ww1QcEglvNsFqQ/Gaw==[/tex]阶正定矩阵，试判定分块矩阵[tex=6.286x2.786]hckPS0WZ5y9Dy8+em27JdRWKdrPlGF6yQQah3mA0A3/zHm8p+JbPAYkttdmJcB8XwY+mWiwXOnI3GUds+g/H2Q==[/tex]是否为正定矩阵．

答案：

解: 此为抽象矩阵，可用正定二次型的定义判别之．设列向量[tex=23.357x2.214]HUPt52mOx9tWguvWEhIM54ZL/xEzwVvOA5t42I6MvJ8LY2HSF/3/qE7PZiAlWZhYsOT+eu77XkeKUV17srYCloh+6u2njV8Hc49uL3uffwkno5Wy33LxfYqXSvwUf7uneC8y5A/0qRWIhWaH7nPwwzeFYeWNz82doXAbE4YpACRyqgsx7EySa1znVqBT4j9Fh5fCi5acrD2eR4AdTGKe0L7fAHSNGGIumhW3GjmN3TE=[/tex]且设[tex=2.357x1.214]0/Q0boKR8aVvMAgXjxH0gw==[/tex]，则[tex=1.571x1.0]DbK6f5hzKpCS+pr57H1/FA==[/tex]不全为０，不妨设[tex=2.429x1.214]10plTrnQGQA2AScw6QE/Tw==[/tex]，由题设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]为正定矩阵，有[tex=9.286x1.357]YJbkwgHklKX7kFDbWRBWdDLBJgUnqqu90K0soLj2PUy9+FOHKimSfvy/JmQijOfJ[/tex]于是，[tex=20.786x2.786]rXxa9of9K0/HKpz5O0QWEwAn8KOez+bSixKwWmaHxxdRPWz4bhawRYDrKQeJm+sLesJF++1vXymgv1lIbtxebfTKepcb4NlJ0EeS30ZQiUTIjCUmxKIIJm4C5bTirpnDsA2BLAwVqmX+yh1p4NIhnU+WhMN02MVoE5idh68I6FKxUj4s9fj154JIYcIq4GsPCx93S8bR61q4JVlaCjtc1gZOD6QTpz6584yE91MbqrVAxjN3Tfc6QfdJ0qPWhnBJ[/tex]所以[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex] 是正定矩阵．

举一反三

内容

0
如果 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定矩阵，则 [tex=2.286x1.143]Px4s+PosevWooBpZPidJvg==[/tex] 也为正定矩阵。
1
设 [tex=2.286x1.214]N8WVEUSbiez8ysjtBlV0Dg==[/tex]分别为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶、[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定矩阵，证明：矩阵 [tex=5.214x2.786]jcCMHflCR8OS9TosV6N5vFgmGw4YpjjLNUpHC7uMFJjICUyeLM9Ie6rlAa/40BUhAsmOomvUa7WNsWvkeQozyBI/92MbNNylDQaG5nGHMZBrxFsmzDkqHn25bIkcDLK3CFVFc6YKMLp9xad5wJh2lg==[/tex] 也是正定矩阵。
2
证明：设A,B分别为m,n阶正定矩阵，则分块矩阵[tex=7.0x2.786]g7wyRhWruAXx0N1FMyvESmIt6FOA2RGPUh4uj9LZIMpQy6Wb/xyznP/Jr/8gYY0qU4X8c0k+fYFZcXoKIyawYsKM8I9lv7WJha+xudIX1zE4ZfdbiUHMJmMNztJOUR48ezMSY8hqqZWoKam1Pb4fSaIM7rn/zpSn977mHwQz1cQ=[/tex]也是正定矩阵.
3
设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]为可逆矩阵，[tex=6.357x2.786]yobSOrm47gc9Hss4HGX8PPdc3v32PHfTz5ZuXTgVg0Aw3GLEFUbIuZUtMUimelrq+HHqwSo2ZJbRzLOKDDCgPg==[/tex]为分块矩阵，则[tex=2.643x1.214]4ZIIVaSr/ozLcM3pAvGx3g==[/tex]
4
设[tex=7.286x2.786]56jwV/OgFDGvZ8IyHzsbRZqwque5TjQmrXPuw7Q/ldp7gkwxntI0TjS1V9r843Evbb3kBgYIo3cpvLep2Nmurw==[/tex]为正定矩阵, 其中[tex=1.786x1.214]3ZUu0b3gVRD2+ASz0VPXYQ==[/tex]分别为[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶,[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]为[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵.判断矩阵[tex=5.214x1.357]jM/lIs5SL4T35CcpzyjaTXIcH1b8Lp90PlLv3XPwaL4=[/tex]是否为正定矩阵，并证明你的结论.