设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵, 证明: 存在正定矩阵[tex=1.071x1.214]PSp40OyE3Da+bb1v5cWzIg==[/tex]使[tex=2.857x1.214]74UNGHg1nBhpE4JGqojBrA==[/tex]

2022-06-16

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵, 证明: 存在正定矩阵[tex=1.071x1.214]PSp40OyE3Da+bb1v5cWzIg==[/tex]使[tex=2.857x1.214]74UNGHg1nBhpE4JGqojBrA==[/tex]

答案：

证明: 存在正交阵[tex=0.929x1.214]RjlejK6D6JSwVAeYdCSJQw==[/tex] 使[tex=26.929x6.5]zaV1ul77pkKaj9Z+Agov/ChvRH5IUNah9Km6PTH46cE1NKSLsKHZrCzVFYbTE723LLjgB7RXZS3FHAqEPVUR4sReqTkQKckQytQWy5OOOa+S5kOMeaOvO/RZzHSIlsDZbXl5TF3/sRhOb8S9BbnapeiT1dEqHQp2bwrs1UX3k5pC/Yf2zKqYMjhLZEYmBdc3eqHhEDtD9BbT+l1rNZn1o4/ub85BnjHwFdS3/ntPumdpVYcXdjbElVP1ugNH/bfpef2Q+Xj7WlrSxrUMoeRYSQkBsC0U5D9Jp65N7PY5unX380VJEIYbiD9dSv2458BX[/tex]因为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定. 故[tex=2.429x1.214]mrQDNEOfQZSt4+f7V1SpK/E15vP8GQrERy4b+FH8bhA=[/tex] 令[tex=16.214x6.5]bEZWbfrtoqdicCF5UiXioeDFkG7niwbI81S8Fmtu9tZsQL2QinZadGat7/AREQO1rv/23FLngSZVDRYxt4MZmLo1gZ1TGDqSaWsmmsisAK2Yb83zUsJ4kOCRH/gTVB2yTdECILMe+7aJUTuxq9oOGPzCpF/iYOCKfca9IWz1bfYXqs5dSNCPufk4aebWK/HO[/tex]则[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]正定，且[tex=2.786x1.214]pk6okD3xJkdH+QTeWcSPXQ==[/tex].

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是实正定矩阵，证明：[tex=1.571x1.0]ZT2ndRlmVScNtr8tRaWqog==[/tex]是正定矩阵的充要条件是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]可换。
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵，则 [tex=1.714x1.214]Xoch5gYRbC0re02c7tg83g==[/tex] 和 [tex=1.143x1.071]gpoIs9WVhBUY5ePG93fElA==[/tex] 也是正定矩阵。其中 [tex=1.143x1.071]gpoIs9WVhBUY5ePG93fElA==[/tex]为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵。
2
证明:若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定矩阵，则其伴随矩阵 [tex=1.143x1.071]nnt6woQbTr+wrutPzAntHg==[/tex]也是正定矩阵.
3
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个实对称矩阵。如果以[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为矩阵的实二次型是正定的，那么就说[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是正定的。证明,对于任意实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，总存在足够大的实数 [tex=0.429x0.929]W8E1xLajW/T0ENtge5BUyQ==[/tex]，使得[tex=2.357x1.143]/XtlMqagTGHWKNBzDWFdig==[/tex]是正定的。
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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为实对称矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定 (半正定) 的充分必要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全大于 (大于等于)零.