设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=1.643x1.429]UdMB0Tl8bubZrngAnqwvIw==[/tex]，[tex=0.571x1.0]+NxxLnTh2HAHOCSSr6dlEg==[/tex]为素数，[tex=3.929x1.357]oMyYM6mxXSOC1/aJ0UmIkQ==[/tex]且[tex=3.214x1.214]jxwGHubb+u29jo2hF9/3wg==[/tex]，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中有正规[tex=3.143x1.214]sNyc2gqv3W9i2eXbNrsj4Q==[/tex]子群或正规的[tex=1.643x1.429]ZRQ9vRBBVcZNkftH9Wwp0Q==[/tex]阶子群。
举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, [tex=2.786x1.357]gGafzCAY5HUDydhqr4pyuw==[/tex].假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的子群, 证明：[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
- 证明:若群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶子群有且只有一个,则此子群必为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
- [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群,[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是循环子群且在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中正规,则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的子群在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中都正规 .
- [tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环子群当且仅当 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶元.再证 :[tex=2.071x1.357]uDUdwqeJnLoclMiXU3BK6A==[/tex] 是素数 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶群,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.[tex=2.071x1.357]leZ2dm1/uybUxLAV8A9gwA==[/tex] 是[tex=1.071x1.214]QNlCeTWiPvK4dPwBORP+PQ==[/tex]阶非交换群[tex=1.0x1.0]zdNN1O/FkAWt1pjWeDlxUg==[/tex]素数,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必有[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶子群.
- 设[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]，[tex=0.786x1.0]EsJDtGYVBcAkNM+hi9jDJg==[/tex]为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群且[tex=4.929x1.357]W5SI+V/Ykf5VFGgvg55aNA==[/tex]， 证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]与[tex=6.929x1.357]5QJWC7+XwfurN5BXLfL2dcXNdbP4kICK9Uoho98wlT8=[/tex]的一个子群同构。