设是15阶循环群。(1)求出的所有生成元；(2)求出G的所有子群。
（1）G的所有生成元为：[tex=11.786x1.429]W7P9MC/I+yR3V3bwTlisR99UbCbsOx41BHbXM5ASjuMel9kcmQaGTBdArgCPgIVsEr50fzlpg27yD1inZAuY7g==[/tex]（2）G的所有子群为：[tex=28.143x1.571]0BcbaxEEUMRtDpvUctqhLqyN/zPKu6qxMnNAlItq2tgI1T6/BIEnOeckRLedUIMYKUFT25q3QCMBoUghpyFc3cpUhPoyFlvS15FHLLfQx6yFcRUfH4VJxuoLYsLNBmf2ae4nrKICjCarWw5CeMkQjoAnvfgxpgfb4vY3EyGSNRTMwQv6TYOOo1h1vPfazZzQA+18bkyY5/k/IWdRCt09lVVSecGWIz7EWgSd5OAcofxu9u+TYTkkHldVFT+xlXh1+5esGYDf6kk2X5wwglZ/jA==[/tex]。
举一反三
- 对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
- 设[tex=4.5x1.071]btQ9pX3fFnWN03lyZWUa+g==[/tex]是[tex=1.0x1.0]GqOMsRKoSA9JSFw5lv/vpw==[/tex]阶循环群.[br][/br]求出[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的所有子群.
- 【判断题】如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群
- 设[G,*]是群，|G|=6，则[G,*]必有2阶子群。
- 【多选题】关于循环群下列说法正确的是()。 A. 循环群的阶等于它的生成元的阶。 B. 两个循环群同构当且仅当它们的阶相同。 C. 循环群的子群仍为循环群。 D. 一个n阶群是循环群当且仅当它有n阶元
内容
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设 [tex=2.786x1.357]yD5alZ3X9bU+/DKNfWUhhw==[/tex] 为 18 阶循环群. 试求出 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的全部生成元与全部子群,并证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.
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设（G,*）为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元
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设[tex=2.929x1.357]R69oP1O5tGxNy/rzgfmU98XoEPpo9mDykzM0s1mhLKE=[/tex]为 6 阶循环群. 给出[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一切生成元和[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的所有子群.
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【多选题】下面关于不变子群的说法正确的是 A. 交换群的任何子群都是不变子群 B. 素数阶群的任何子群都是不变子群 C. 平凡子群{e}和G本身都是群G的不变子群 D. 循环群的子群都是不变子群
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1证明；G是p^k（p是素数）阶循环群,证明G不能表示成其真子群的直和2群Z2*Z3与群Z6同构,群Z2*Z2与群Z4