设 [tex=3.429x1.357]Oob9Fp8MZIMyjJ+bRmxOQA==[/tex] 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有唯一的 3 阶子群和唯一的 5 阶子群, 则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群. 将此结果推广到 [tex=3.071x1.357]dftd9PQHS7RsY9bl1nARdQ==[/tex] 的情况, 这里 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex] 为不同的素数.
举一反三
- 证明：群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 或 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是素数阶循环群.
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是 [tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex]阶群, 其中 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex]是素数, [tex=2.286x1.071]KBpGEH+in8vrAnylQdc1GA==[/tex] 且 [tex=3.357x1.357]QE14FycwQigVlVnLcffRzA==[/tex] 证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.
- 如果有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有且仅有 3 个不同的子群,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必为循环群,且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶数为[tex=2.357x1.0]jFLnBRxb8B7Hy+eXhKLWag==[/tex] 为某 个素数.
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶群且其不同的子群有不同的阶，试证：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是循环群。
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何真子群都是循环群，试问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是循环群吗？