设 [tex=3.429x1.357]Oob9Fp8MZIMyjJ+bRmxOQA==[/tex] 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有唯一的 3 阶子群和唯一的 5 阶子群, 则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群. 将此结果推广到 [tex=3.071x1.357]dftd9PQHS7RsY9bl1nARdQ==[/tex] 的情况, 这里 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex] 为不同的素数.

2022-06-09

设 [tex=3.429x1.357]Oob9Fp8MZIMyjJ+bRmxOQA==[/tex] 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有唯一的 3 阶子群和唯一的 5 阶子群, 则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群. 将此结果推广到 [tex=3.071x1.357]dftd9PQHS7RsY9bl1nARdQ==[/tex] 的情况, 这里 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex] 为不同的素数.

答案：

证明 设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 分别是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的 3 阶子群与 5 阶子群. 因为 3 与 5 都是素数, 所以 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 都是循环群. 不妨设[tex=6.357x1.357]adP7vSusuCs7JWGZbDKUkJ6RyYSTvVABPvwC+kZ7PRP1w0111p+B0Mhfvhv5NQUj[/tex]易知, [tex=5.357x1.714]YHVWVbM7O/TPIwdxhRChtkXxg4yzDPJFrsOkFRac7iTErigB5l8hSIzZxwpHBBRQ[/tex] 由于 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有唯一的 3 阶子群 [tex=1.143x1.214]NLXRTYpB7qUblTNVAvJiDw==[/tex] 因此 [tex=4.143x1.286]Bvsxxk5SwhVAQbFvG+p+VgfnMp6eKfuUA4mneXqvslc=[/tex]同理, [tex=4.214x1.286]ifPm3smQEw3Sc67nZAM0023+72M/kZrzo+MibJpAeG4=[/tex] 于是[p=align:center][tex=11.429x3.214]SFu45xFIQ30yzku4wGaAB24HcYC7ZcHH4UDQ4YRhp8R7WDkdOK/NRWLgpvkm9Q0WTeOl8To2H1omCoilYTnukh5OxSUQ/kmSTJtYllYG1VBAFEJ7JIIaXnS4+1qsUs0N0SMiOpfaE57WilBkoeE7AucC/aR9tMwltupQU28OvFo=[/tex]所以 [tex=7.571x1.286]4rRuposRy35aKq7iGCdoDZqoB+odrrXAl1yVRlmaR0PS3khg1XHEcUNu336KMZPO[/tex] 因为 [tex=3.643x1.357]SjMMPC1wF6UislpsJ+Lxew==[/tex] 所以 [tex=5.357x1.357]6+t2AyYs8hKj4nga3VO6166DIrZipyEzElwEIDqqR5M=[/tex]从而 [tex=5.357x1.429]4rRuposRy35aKq7iGCdoDU/RXeTVu/+bx3Z+vAIkVH8=[/tex] 由此得 [tex=3.0x1.214]woZ7Fwvfa+frfaup4vxmuQ==[/tex] 因此 [tex=4.5x1.214]6ZxehVdap9NVjj89Q8fJEg==[/tex] 所以 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 为循环群. 此结论的推广形式为        设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 为 [tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex] 阶群, 这里 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex]为不同的素数. 如果群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有唯一的[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]阶子群和唯一的 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex] 阶子群, 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是循环群. 此结论的证明也与上面的证明类似.   

举一反三

内容

0
设 [tex=2.786x1.357]yD5alZ3X9bU+/DKNfWUhhw==[/tex] 为 18 阶循环群. 试求出 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的全部生成元与全部子群,并证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.
1
[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环子群当且仅当 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶元.再证 :[tex=2.071x1.357]uDUdwqeJnLoclMiXU3BK6A==[/tex] 是素数 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶群,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.[tex=2.071x1.357]leZ2dm1/uybUxLAV8A9gwA==[/tex] 是[tex=1.071x1.214]QNlCeTWiPvK4dPwBORP+PQ==[/tex]阶非交换群[tex=1.0x1.0]zdNN1O/FkAWt1pjWeDlxUg==[/tex]素数,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必有[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶子群.
2
设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, [tex=2.786x1.357]gGafzCAY5HUDydhqr4pyuw==[/tex].假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的子群, 证明：[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
3
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个 21 阶的非循环群, 试问 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有多少个 Sylow 3 子群?
4
证明:若群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶子群有且只有一个,则此子群必为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.