设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是 [tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex]阶群, 其中 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex]是素数, [tex=2.286x1.071]KBpGEH+in8vrAnylQdc1GA==[/tex] 且 [tex=3.357x1.357]QE14FycwQigVlVnLcffRzA==[/tex] 证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.
举一反三
- 设 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex]是不同的素数. 证明: 每一阶数为 [tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex] 的交换群都是循环群.
- 设[tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex]，[tex=0.5x1.0]BwbMcfFB7+ux6m5GcvMVvA==[/tex]都是素数，[tex=2.286x1.071]bGsEjrC6qqEk3r8qGzYGDQ==[/tex]，[tex=3.857x1.357]UjYumzESPMckI7MOGq1vOg==[/tex] ，证明[tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex]阶群一定是循环群。
- 证明：群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 或 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是素数阶循环群.
- 设 [tex=3.429x1.357]Oob9Fp8MZIMyjJ+bRmxOQA==[/tex] 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有唯一的 3 阶子群和唯一的 5 阶子群, 则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群. 将此结果推广到 [tex=3.071x1.357]dftd9PQHS7RsY9bl1nARdQ==[/tex] 的情况, 这里 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex] 为不同的素数.
- [tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环子群当且仅当 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶元.再证 :[tex=2.071x1.357]uDUdwqeJnLoclMiXU3BK6A==[/tex] 是素数 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶群,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.[tex=2.071x1.357]leZ2dm1/uybUxLAV8A9gwA==[/tex] 是[tex=1.071x1.214]QNlCeTWiPvK4dPwBORP+PQ==[/tex]阶非交换群[tex=1.0x1.0]zdNN1O/FkAWt1pjWeDlxUg==[/tex]素数,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必有[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶子群.