在实数集合[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]中证明下列推理的有效性：因为[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]中存在自然数，而所有自然数是整数，所以[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]中存在整数。

证明: 实数域 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 作为它自身上的线性空间与线性空间 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]. 同构.

设[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]是实数集合，[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]关于数的乘法运算“[tex=0.357x0.786]3p9iFfA+hJQ9w74wku7eHg==[/tex]”能构成(      )。

试证：由空间自由向量构成实数域 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 上的 3 维空间中任何三个不共面的向量都是一组基.

求线性空间 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 与 [tex=12.929x1.571]jtIleu5M/Yavne/JtSC4EipP0zacFW4k7wivgqYBwEa2zumodCujJ69AZzxkFwNQB0UPSZbSkJvBxPLIzFUxqhxWjeir+0fCBQaie1+ZiEI=[/tex] 间的同构映射.

判断实数集合[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]上的下列关系能否构成函数：[tex=10.929x1.571]nZvl1nA3gFko0pw2V93hNu7s9SvgBC+zFdumT0WT1RRLAtaz852HtdjNklhBsng6E3tXZfyRL4XAOCQL84utiA==[/tex]。

判断实数集合[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]上的下列关系能否构成函数：[tex=10.643x1.571]nZvl1nA3gFko0pw2V93hNu7s9SvgBC+zFdumT0WT1RRofmwnXJEawOKwhsTVMGfvHnDBEi9ykJZ28x5Dd8nSsQ==[/tex]。

设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为从欧氏平面[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]到实数空间[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]的连续映射，证明[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]中最多只有两个点的[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]原象为非空的可数集。

设 [tex=8.5x1.357]W98uKQ5WZdIR+GFOUT/8qDDDXVRcJG1ID10vQqQ5mEZXoLyfFUed0LMHrteA7SFlw29y4vDcHRPFBuB+P00oyQ==[/tex] 为奇数. 试证 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 中有根.

证明:若函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 有任意阶导函数,且函数列[tex=4.286x2.214]vPWsnxKviO8i+974HpQpV5nhOyzv/x3O6sWW8q+pACI=[/tex] 在[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex] 一致收敛于极限函数[tex=2.286x1.357]LZrKCGPdxLgkt+Qt0z8COw==[/tex] 则 [tex=4.143x1.357]KBcStEZq9DZLQQ+3bDATOxURJedqbdEZQSg6VMl7SDc=[/tex],其中[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是常数.