设 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间. [tex=5.571x1.214]d9y+KLOQpwgiIZSOmy+NwuKjcx8pDZqu3h/Q7GEiRUXNWVSQuNqvmSjPX4RH1hbd[/tex] 是 [tex=1.643x1.143]Apl+Iyr98SM82a4tV6MsL58mtovjf7s5IPOrDAAvICA=[/tex]子空间. 若有 [tex=2.857x1.071]rGyNiTIJyy6kriDb3B0UKg==[/tex] 使得 [tex=10.143x1.571]ga84kE3N3GmWm6zQoXwcwyiByVeiyWdBfeF5Q3UX8B0PjtzZLsEES7Nvs58MtPCnSbWC07RBrQ5zvX4RhdJbX00CipVW1Kbs9aXJCZkBMrCvqhKKiN0uh7j8i2poCr6o[/tex]，则称 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的循环子空间.证明：若 [tex=1.786x1.357]GQmdrPYXs/Yvv1PiTQW1W5m0yAqpTVCUMzMk1LQlQNo=[/tex] 在 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]  的某组基下的矩阵为 Jordan 块 [tex=3.857x1.357]wfiHn6lCgzFOTBRaG9+epv/3bg5LWn4RbvudpqiItp1THFm3jgJp1g85l1Qp3MRW[/tex]，则 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的循环子空间.

设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 是数域 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上线性空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的线性变换，[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 是 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]  的不变子空间，[tex=0.857x1.214]ZdxcNk2+dFksDrQrx/cz4MSy3OELSu1cby4a6Qz3q84=[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]pgEl/yn5MrHj4Hl4xVXERQ==[/tex] 上诱导的线性变换. 若 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]  只有有限个 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的不变子空间，则 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]  只有有限个 [tex=1.786x1.357]GQmdrPYXs/Yvv1PiTQW1W5m0yAqpTVCUMzMk1LQlQNo=[/tex] 的不变子空间，[tex=2.071x1.357]pgEl/yn5MrHj4Hl4xVXERQ==[/tex] 只有有限个 [tex=0.857x1.214]ZdxcNk2+dFksDrQrx/cz4MSy3OELSu1cby4a6Qz3q84=[/tex] 的不变子空间.