证明: [tex=1.286x1.0]nEeYViGDAU7XXBJ2mRGUSQ==[/tex]中的 Borel 集类具有连续势.

2022-05-30

证明: [tex=1.286x1.0]nEeYViGDAU7XXBJ2mRGUSQ==[/tex]中的 Borel 集类具有连续势.

答案：

证明: 为了叙述方便，我们仅以[tex=1.929x1.0]iy49FZmj3Bn8sRaLZpfrEw==[/tex]为例进行证明:用[tex=2.143x1.357]klrnY+j82/iU+aPQ+4h6VmsVDLjqzMTFalrf8cSO/Cs=[/tex]表示[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的开区间，用[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]表示上的一个点. [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 表示 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的所有开区间的集合; [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]表示[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]所有闭集; [tex=0.929x1.0]ClVKd9UyBZsCyh7aNYYJZQ==[/tex]和[tex=0.929x1.214]yapPFYh4TE0YR90ID/yjbWqYGBsxtEMtxmXd7rG+sfw=[/tex]分别表示所有的[tex=1.071x1.214]vG+JSlAMonmU7rsonZeVJQ==[/tex]型集，所有[tex=1.143x1.214]C7m4cw/2GPaqR1AiB/kU8w==[/tex]型集.因为[tex=23.357x1.429]5UuaSGvPxAc6Sm5xkaH5En3lKaBKQ/UIPkk53YonhHko4vJ0bLLUm/cu+WM3cOWvb9ng6tQjQNt/E4npvDgNwyAxy7C+4phl4uUJ1IESw8mNthfQlYcDLokB+AR2UKyHs1k9yTiQ6dpvo3R+bvtOVp6x01I7IffCSSXl9es9jGBYLq1nu0bslaAx84QPbwiG[/tex], 又因为[tex=9.357x1.429]bHm47HgHVwEJDC2VFkperpi8QiLau1S0gFrgmy+NnWa94o3LpZVZNrdiHgZvhNgR+ze01HXT67DAe1ICEJ6k1mJva28LGrBTye40yFgpMhM=[/tex].故[tex=9.143x1.571]xrhUovoE+PWpRGycT1jDvr+F9XcoHP/w/lEEMPdXO9tIQsn+2ykaheYO0D3lt4mRJP8rBAMPPvZJ9tE9rGgk7WrGCmKtQ7nylhpFPrzCT4n99eopkwuoDUHhczDxb5PgSoB1TQ8dZ1UiAVd6XXQrr42SNZU0eTNnV1/4lquqjp0=[/tex]所以 [tex=2.286x1.429]xrhUovoE+PWpRGycT1jDvjGFe0ELYtxpZlFwOY/Jl2Y=[/tex] .又因为[tex=20.429x2.714]rICN4xDuDZCq9rp7Fof+wKuhQR0KUfb3AokqZMoKz/YGZ9iY+GHBqRBGEhbUlFPDcUAb+G1HJI6vScZJVxjSoAebC7iAMyKHihFR6yIT3wSelPzqd8PoR8qiuvbNtUHpSegPFFqYxlhkImrJ4JNQpvP6q13sm5vv7QLke7s7tuE=[/tex].所以 [tex=2.929x1.643]MlaytKnuYWdXaM+tS8tHL69nIuKsgqt9wr44CWu5Jjh+k0Mzy4r0Ja/Fi9A/PMUPmpJbSz7PhH+JsK7PIAyCNw==[/tex].又定义: [tex=5.0x1.214]SbE7enZiwT2H0bRVEkLnVsNA7OpYFBWH26yD3CaYZY7xCN51HdrURJjEnRkZP4wk[/tex]，[tex=4.714x1.214]4hki96B5xExq/WFW9hUwrPeN1OQtnIyDJCu7yX2EIJ2BfELI/VcERMnv1qp1Wvbi[/tex]，[tex=8.286x3.357]JMxBGtY1EcrhsyjKdaOPodEE0DN8/ZWNrZPptcBAp/5xUhX3sZkeNOAVuFQQmOo36TSxWN81fKmyoqkMngJR/sS4VVoNyi9mqG2HJmA+lMk=[/tex]，[tex=8.286x3.357]GyiQeDZZlDIj+iCw6NzyACEEJ5ieY/0pfHRCBXd4kYvWxpUSh5spbLg/4Q18m9yR50ZzUOrhsqU/P4pxCeZRRB9GkJ9PiuwSlvVlWBqCMTM=[/tex]则[tex=0.714x1.214]hEHZwhVlHPnf9D4udzi0EA==[/tex]与[tex=0.5x0.786]xdTs2QHMXTpKzI7ZnwCRMQ==[/tex]都是满射.所以[tex=12.857x1.786]J4cnb6byE27rWljKLtU+/K1WkfcOchZz6sDgi/rB9+S3kWJPCsKHtYC1Bapij0IVqdgo+jNguQqZ7telH/oUUAa+prcjl2BVjmlPanLrb30wvHxm+tofF5mmv/JVS9Cv+wk64AN4nXIqtqie89Qe4nOyA+BX5mhAydsxFoZ9lAHUFJk2so4veBO0LpXHNxFqJthSSeLTDVQH4vjoVEB2BA==[/tex].即 [tex=2.429x1.643]FczuEMoyFpYq0f9psdosbp4olaSJPpwUnkTdxmlXSKbR+vw2siGrq2cZwYWmEEHt[/tex].同理，[tex=2.429x1.357]MlaytKnuYWdXaM+tS8tHL9MrOGWCP/Ggm6Ql12cm7jYz4tlf+GfIFePGnbVVAieo[/tex]记[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]时[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的 Borel 集的全体.因集合的“差"运算可以化成“交"运算，例如:[tex=6.143x1.143]grhvzS5XMW14Q+JXXXx4rxNORQtLuZXTyyX5DZLLMHc=[/tex].因此，[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]中的每个元都是[tex=2.571x1.214]54k2hfNM9TuQPlcqBvjXGbrimXHEToyeioJ54MZgo4aqanrYM0wZ+n/rMh3Wnefe[/tex]中可数元的并，交后而成.故[tex=12.786x1.786]+38qEA5rCjzswCe/ivzWTTLKcA8TLJSfxLvxn636ErIipjhU8BYs2Atf9d9B94MY0vVZtE9vS1aDVbvqNBRY9AS/fz+lreuG9PWkxJCPBj6seX2ibZicBuTXmW3z4tCxfw808YpHw/gHZunYlWnhXN8i6UGxuPM4aHChq7BFSgm3TgCZs9WR8rNOPg5Nv4OTffcB02X+NUWvZ7HBI/pxsQ1wyEtcj2xu9zcWePh99cITJ3Z98tzz9A5UUmt4tIq7[/tex]从而，[tex=2.071x1.643]MlaytKnuYWdXaM+tS8tHL/Tcr22Yu1Zb2OOxTmLv8VQ=[/tex].即， [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上 Borel 集的全体的势为C.

举一反三

内容

0
试证明下列命题：设 [tex=5.214x1.357]1nSPUdCnAiFnd7V2+iZuND1IS5lxxZKHiokJemnW9Dk=[/tex] 且是严格递增函数,若有 [tex=5.643x1.357]0PPKIFwXqLE5qKHXWlECKiRGR9igtC6CUVcsWI3XtZg=[/tex], 则对 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 中的 Borel 集 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex], 必得[tex=9.571x2.786]cm60qGu7CAKg1MeqHZfXQ0xmEx/xI+eg9h1miri9IvrtoQEhkzpffO+Ijdt5nfED[/tex].[br][/br][br][/br]
1
试证明下列命题：设 [tex=3.143x1.214]AzD8UYoy+kTlHC4wZn4aJg==[/tex] 是 [tex=1.286x1.0]LVtrVoR3luZyUPe3gwSlPw==[/tex] 中的可测集. 若有 [tex=11.071x1.357]QURnCNizZmx2Wuk4uVBiIyPekrjdShOdEyaw5P27I4YKeyZK4m9Co5ygQczYHS/y[/tex], 则[tex=5.357x1.357]jdTEC/KQ2oT8vI09BgTXCVa4JDczCAwm3s5qm+UYPow=[/tex].
2
在被加集可以相交的情形下证明: [br][/br]可列个势为[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]的集的和集的势仍为[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex].[br][/br]
3
证明[tex=2.357x1.357]LUHeP9o7eqBTOkWbocGFoA==[/tex]与[tex=1.286x1.0]LVtrVoR3luZyUPe3gwSlPw==[/tex]同构.
4
试证明下列命题：设 [tex=3.357x1.071]8kil1yT/0eFIrhCcZbOF0TSrZFmBG3cUFIqg+23g+3Y=[/tex] . 若存在 [tex=1.286x1.0]LVtrVoR3luZyUPe3gwSlPw==[/tex]中可测集 [tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex], 使得 [tex=5.714x1.357]p5gT9OrxH8U1pBSvSDq8vXUpRC84DVHfRAVPbuFE6D8=[/tex], 则 [tex=2.714x1.071]TcBwSKJYG/iJ8JiUR56l/foTWQ0hg+0yyhZOIJUtJHw=[/tex] , 且有 [tex=5.643x1.357]eRZvw7mNSg8M86oqzlp1Xw==[/tex] .