设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一任意集合,[tex=2.286x1.214]n4UPT3fPQF8LGaTSsyfoVw==[/tex]。定义[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是从[tex=7.214x1.357]taUXvsH3ruVlBiAfiJJff59SBVeSKn4gGlHJV6UmC60=[/tex]到[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有映射的集合,定义[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的元素的所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]重组集合。[tex=14.0x1.357]w7+RnDZOWfmefwWU8p6ib0FQCKuY2hseoVfD30pop5jYwGgCIxViT5TKmlwNzGnhtZNthwLo4/1+l3Z7AFPuOPw151jF51+B8lBwgf3Ml5yh28lk0xBpLrccEzOPqGMy[/tex],证明存在一从[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]到[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的双射函数。(由于这个双射函数,有的书上符号[tex=1.214x1.0]tDNj5aoJETJiravoifVs8Q==[/tex]既用于表示[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex],又用于表示[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex],即用[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]表示集合[tex=8.214x1.357]UHHN19pBVvWVmKuVCXi+91fsnyglX8sW+cwyUx96nqU=[/tex]。)
举一反三
- ([tex=2.286x1.0]jV77yGwC+Mx6/mPaHpjmIQ==[/tex]悖论)[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]和[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]两人赛跑,[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的速度为10[tex=1.857x1.357]s01JNG/cfJqbEBUPiJOwkA==[/tex],[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的速度为0.01[tex=1.857x1.357]s01JNG/cfJqbEBUPiJOwkA==[/tex].开始时,[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]前1000[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]的[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]处,[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]到达[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]处时,[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]前进了一段距离,到达了[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]处,当[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]到达[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]处时,[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]又前进了一段距离,到达了[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]处...[tex=2.286x1.0]jV77yGwC+Mx6/mPaHpjmIQ==[/tex]断言[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]永远也追不上[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex],试解释这一现象.
- 证明如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]、[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]均为基数为[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]的集合,[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]为正整数,则在集合[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]与集合[tex=0.786x1.0]TkWiaIfselaE0uOF2JDYag==[/tex]之间存在一个一一对应函数。
- 1) 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实矩阵,且[tex=3.143x1.357]jmW/UUDE3QEpfgsRbhrpUQ==[/tex],证明[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可以分解成[tex=2.929x1.214]uD+loi5Ndfk9oRNW/S/5NQ==[/tex],其中[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是正交矩阵,[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]是一上三角矩阵:[tex=11.929x5.214]iuUhbPg6vGulP+tV2jtZCP8+fINWUOIBYuhILpF13bHy9K9vDpLieRMmpJ2zXt8P5WCwasrT/bhcftZoCydNQZIOF7QAOG8nKDGlYVlVFS54B9tzoOGOGxyZgBkYZKT5OnS6JJpBj7JGFgdTqbS50rB+DFhsxIR915FwxDxWhHkJ5lMjbTLvYpXJ8yVK3iPlHHeABZTdtvP4bnsEbOnI5ErWaTEb143EPJ88etS7vqJ6ismRUFCfZSGkgEeAhnIr[/tex]且[tex=9.071x1.357]o9hjoulZVyyj8haoQFJu/v9xY8hJWIQTjSsa3f/uF9M=[/tex],并证明这个分解是惟一的;2) 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵,证明存在一上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex],使[tex=3.071x1.143]0jLtcygfwX7LHdfUusxcIQ==[/tex].
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的可逆线性变换.证明:1) [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值一定不为0;2) 如果[tex=0.643x1.0]7dwHQGHL24uGORI8NryViw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值,那么[tex=1.643x1.357]7hXLKuNcz29qRRA2zjn4rA==[/tex]是[tex=1.714x1.214]d+9NDUvA5ZDrRGeFW5fxcQ==[/tex]的特征值.
- [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的线性变换. 1) 若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的某组基下矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是某多项式[tex=1.929x1.357]EJ5ekqmr2bWoAT+xH4aA4Q==[/tex]的伴侣阵,则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的最 小多项式是[tex=1.929x1.357]EJ5ekqmr2bWoAT+xH4aA4Q==[/tex]. 2) 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的最高次的不变因子是[tex=1.929x1.357]EJ5ekqmr2bWoAT+xH4aA4Q==[/tex],则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的最小多项式是[tex=1.929x1.357]EJ5ekqmr2bWoAT+xH4aA4Q==[/tex].