１） 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实矩阵，且[tex=3.143x1.357]jmW/UUDE3QEpfgsRbhrpUQ==[/tex]，证明[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可以分解成[tex=2.929x1.214]uD+loi5Ndfk9oRNW/S/5NQ==[/tex]，其中[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是正交矩阵，[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]是一上三角矩阵：[tex=11.929x5.214]iuUhbPg6vGulP+tV2jtZCP8+fINWUOIBYuhILpF13bHy9K9vDpLieRMmpJ2zXt8P5WCwasrT/bhcftZoCydNQZIOF7QAOG8nKDGlYVlVFS54B9tzoOGOGxyZgBkYZKT5OnS6JJpBj7JGFgdTqbS50rB+DFhsxIR915FwxDxWhHkJ5lMjbTLvYpXJ8yVK3iPlHHeABZTdtvP4bnsEbOnI5ErWaTEb143EPJ88etS7vqJ6ismRUFCfZSGkgEeAhnIr[/tex]且[tex=9.071x1.357]o9hjoulZVyyj8haoQFJu/v9xY8hJWIQTjSsa3f/uF9M=[/tex]，并证明这个分解是惟一的；２） 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，证明存在一上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使[tex=3.071x1.143]0jLtcygfwX7LHdfUusxcIQ==[/tex]．
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 为一个 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 级实矩阵,且[tex=3.143x1.357]sW9LKYvTBgsV/zgJueV1GQ==[/tex]. 证明 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 可以分解 成 [tex=2.929x1.214]ZfxJvjEhWh7Ak1fExa4DgQ==[/tex] ,其中 [tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]是正交矩阵[tex=0.643x1.0]7p9LSMKGuAkm+tarwSUSAw==[/tex]是上三角形矩阵[tex=12.0x5.214]q+uLawTqySf8NejH1XmqvX8mvG//Vu1ZJjl53MqcFHVFshYMKlKrekpGpuSbA4sRiFxNL585a48pfWfE4Toxfa5P8WjAvg2HUXBAVU8447p0JjZj7k2dkv16ucvYnYpCK16Sje+iPdOL6IFH6ke0QnMfjyPAW/UZPpDxVmc0igpA4qSk7CM9CepFp31sW6tnIwHGvpo0TpVVQtknGj7wAU7PlTZZ2Ne1tmvvqET6rIG9nSALROyZDTR1H8JD9cGI[/tex]且 [tex=8.643x1.357]5/xxpC7Q3gf51itpyGSTFzyO9LrCD3bvO0ILYKkB7+M=[/tex] ,并证明这个分解是唯一的
- 证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是上三角矩阵，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对角矩阵，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的主对角元为1或-1.
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明： １） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是反对称矩阵当且仅当对任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]； ２） 如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对称矩阵，且对任一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] ，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]．
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵，证明：如果[tex=2.643x1.357]xnNlsIp2wAAq+OkAnU/oIQ==[/tex]，且[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是奇数，那么1是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的一个特征值。
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵，且[tex=2.714x1.214]/zc0a9MPQ4oEGKimH+/RAw==[/tex]，证明：存在正交矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使得[tex=10.857x2.786]A0kKdxo07FUl2M/TGVEn/bKOd9Y/uvadsj+X8kV2IBQ35aVTT+ZfSZkz4wgMgapNu0qL5hi5afO6PfMrpwAZWrcYUJOQVsKs9CUreLKLuN8=[/tex]