设向量b可由a1,a2,a3,...,ar线性表出,但不能由a1,a2,a3,..,ar-1线性表出
因为β可由向量组α1,α2,..,αr线性表示所以存在一组数k1,k2,...,kr使得β=k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr1.反证.如果αr可由α1,α2,...,αr-1线性表示设αr=t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1则β=k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+krαr=k1α1+k2α2+...+kr-1αr-1+kr(t1α1+t2α2+...+tr-1αr-1)即β可由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示这与已知矛盾!所以αr不能由α1,α2,...,αr-1线性表示.2.又因为β不能由向量组α1,α2,..,αr-1线性表示所以kr≠0所以αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2-...-(kr-1/kr)αr-1所以αr可由α1,α2,...,αr-1,β线性表示
举一反三
- 设向量组a1，a2，a3的r(a1，a2，a3)=3，a4能由a1，a2，a3线性表示，a5不能由a1，a2，a3线性表示，则r(a1-a2，a2，a3-a1，a5-a4)= 。 A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
- 已知A1,A2,A3,...,Ar线性无关,b与A1,A2,A3,...,Ar都正交,证明b,A1,A2,A3,...,Ar线性无关.
- 设a可由a1,a2,a3线性表示,但a不能由a2,a3线性表示,证：a1可由a,a2,a3线性表示
- 设向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，但β不能由向量组α1，α2，…，αs-1线性表出．证明：秩（α1，α2，…，αs-1，αs）=秩（α1，α2，…，αs-1，β）．
- 已知R(A1,A2,A3)=2,R(A2,A3,A4)=3证明：A1能由A2,A3线性表示；A4不能由A1,A2,A3线性表示
内容
- 0
设向量a1=（1 0 1）T，a2=（1 a -1）T，a3=（a 1 1）T，如果=β（2a2-2）不能用a1，a2，a3线性表示，则a=（）。 A: -2 B: -2 C: 1 D: 2
- 1
设向量a2=（1 2 0），a2=（2 3 1），a3=（0 1 -1），若β可由a1.a2.a3线性表示，则k=（）。 A: -2 B: -1 C: 1 D: 2
- 2
设向量组{α1，α2，α3}线性无关，向量组{β1，β2，β3}可由向量组{α1，α2，α3}线性表出，且β1=α1+4α2+α3，β2=2α1+α2-α3，β3=α1-3α3，则向量组{β1，β2，β3}线性______．
- 3
设 A: 秩r(α1，α2，α3)=1，秩r(α1，α2，α3，α4)=2. B: 秩r(α1，α2，α3)=2，秩r(α1，α2，α3，α4)=3. C: α1，α2，α3中任两个向量均线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表出. D: α1，α2，α3中任两个向量均线性无关，且α4可由α1，α2，α3线性表出.
- 4
已知向量α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T，β1=(1，3，4)T，β2=(1，-1，a)T，且β1可以由α1，α2，α3线性表出，β2不能由α1，α2，α3线性表出，则α=______。