证明：若[tex=3.357x1.143]E9Jtz0PjQpdGMcr9IFHQhXy1cbNtCnfj0tqXPhUAv0M=[/tex] 是有界闭集, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上的连续函数, 则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上一至连续。

2022-06-01

证明：若[tex=3.357x1.143]E9Jtz0PjQpdGMcr9IFHQhXy1cbNtCnfj0tqXPhUAv0M=[/tex] 是有界闭集, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上的连续函数, 则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上一至连续。

答案：

证：因为 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上连续,所以对于 [tex=8.214x1.214]wnnVw3AI26tAAle5k2adK74hayDsuAeejxxPu5hFcCoFv/K/DP5pf3bx5Dn311QKnlDcsmnkpFf4k4wKWNSlcQ==[/tex], 当 [tex=5.0x1.429]WO3RLFr4CfKmme1LJfAJMoe3hiG+MKl9KYpI+7Zyp19prTzaS23yEhciLMhc+Rer[/tex] 时,有 [tex=8.214x1.5]Nqxt1z1WeG68LZXMMr3OFbu0Doio4K4DyebxNDCj8OSOrSc8hHSVgyqyWvXSLSPOgCRu90msRYPxvlF2g+adkg==[/tex].作开集集合[tex=10.143x3.071]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr0t4aWh9lP3RCaOzamDsrpsTvUe086Y6eRlBCzSIQfD77CwbjL/EVlynAJzEhyNjeQu4sHDrVfvL5j7/BBkEQ3xHVPPtAbSegVY6ahIz6Zdv5m0y6SPq7fpM5o3CI8g+mQ==[/tex]则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 为有界闭集 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 的一个开覆盖,由有限覆盖定理知,存在 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的一个有限子集[tex=18.714x2.786]luE1BjYhkqIDKAeFX/8xE5j3sfgUGUMZcXzcpBydBzwvIsROLI4prNsJbcAOGhabAjeOPA4Xj+2mJM8pRqeiRXK7tvoKTxVMKxkGsGKCoKogFPM+EHZ/9icIFyHYmHpEPK3wFEmHga8ZhObZJze+pCrA4/H8N2g2GpK5IrxU9LzDb+b92MFlg8FAfGtdTW/s[/tex]覆盖[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex],记[tex=7.5x2.786]5L75TjxWn87QcQRG6SwQZfZEPk+PjELkof5RTTHlZuHZHPC9HT4/gzJ6O/ePlOnWtyvpASdvT3fBffT5ToAlPssLs9/hTHSDMjhghMZq30+T5WXISUnTFaiUtfj28kYQ[/tex].现在,对 [tex=4.143x1.357]scyHNpPkt5xRg9cQQZOaLjo6WXZpt+ADT/oGZBsKajws0QanCtM3PLBy3IwrSv72[/tex],当 [tex=5.357x1.429]scpvISGgBbAwzI4D/eIZAUgJpAi/4qTSIUb+ulWqtOQaxE/kdvl+6ss8T5mltrPy6yAkA2P0bfHbVWinhunbaA==[/tex] 时, [tex=0.857x1.429]awBnqkkSAoEDUPEmT+Leog==[/tex]必属于 [tex=1.357x1.071]U1iAKUtgB7DYAswIUPK0Ag==[/tex]中某个开集 [tex=4.643x2.786]Cl6p7m+xw1SjakiwYE+8MLBD8Zj2KMxosq04z2xeElCu+gk3e0n+J4j1dEfD6ORM[/tex], 则 [tex=5.714x2.429]scpvISGgBbAwzI4D/eIZAZdniEkHMGeYI920jJSsA/pqcSaPJtYXLKbB8VEM9jtQK5BPf+el6vCH4Z3jarUX5w==[/tex], 且有[tex=21.643x4.214]ifE9NWj3X6IpRVSt3T5ITniVYh5HdV4MHoolWTo776rMd86ctkHJDoSUQEP9VXv5T6OsV5is/CmCi7umaqAU3hwJ5NSy5YkiACE4pqao1Ybw1m0s0aimJekwMdpXM5kr3verzGF8aZLJiuh8H8jVANp730yYzCPiKX+qMFdKyoP1xB2140CWgDRK4/IstQD+Kp0Xm8x4qBWbHheSM4CqPdFbLf82djYyQiTV87NfzZ/qTABUI2FPHEDcWo7gqs5poh1L5Gm2sz1ro9/s7mLR4Vs12DwzixSn8DicL2XQdO3gcca2ZNENnQW8h4IZE0PCfL4sLSdF5RJYrxjlwkDHtXWyipMqDG85suo79cPJCgmPEV4U8K01ncop3FZ/ZHMh1NAcny4/b8RCyypci/bzKyKHQTOrGmwaAVtb51do0GnCdCB3c3lh415sUYtZitiM[/tex]故 [tex=21.929x3.929]ifE9NWj3X6IpRVSt3T5ITn7cGJsmzgojbjLcMhOoQLqeGakjDqN5QsT90PU06QzX4kwzo+H7bbSKlZ88JYgB+jq05Ag5fhq7TB7+xxspYOXsxvxH0YXD7SsB6WrBwBApJWaowk92xH/dZUTId6xIp0/rV3UFJKvpSng59/+Bi/OoREcQAk9f+MVX72YwiacTACIIwznPS6u1vjbSKEBDaL1/bvqTexAG4H0uUTA2eHGmWmkMn8qn8ql+UKeuJa3F3ZvGqv21FRWdr2ntLH+CVK4DdbhtbU3x+Qc0Ye82kHROrZBsze8J5hiZhm0JVH3UTVGsLG2fytn5z3Spt/st0UYQOy5SKYgfTjc5Rf1/M5LLxoSQvdUMHklq0h03GMdGsh5sS/Vsqe4QgcBfTkKYrnLQgEEgDqQBTecTS/cOR8M=[/tex]即 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex] 上一致连续。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 以 [tex=1.071x1.0]tieuzjBYrMcmxP3HXZSPGQ==[/tex] 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的傅里叶级数在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex] 上一致收敛于 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex].
1
(1) 叙述无界函数的定义；[br][/br](2) 证明：[tex=4.0x2.357]Skzfc0ZxjrbUnQ48HU5E0tXmPoDSwwji7Ikqu4Ix2eQ=[/tex]为[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex] 上的无界函数；[br][/br](3) 举出函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的例子，使[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为闭区间[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上的无界函数。
2
证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。
3
设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]是凸域[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上的全纯函数，如果对每点[tex=2.571x1.286]T4JFqKnDeSDD1k1/hJuk0Q==[/tex]，有[tex=6.143x1.429]c8f8pYOWcLRchWEduA0fr2CjTRl9cFOIhEILMeZ7yKzSfkDaTSkLedKFZ1p9ypYX[/tex]，那么[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]上的单叶函数．
4
试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的有界变差且连续的函数. 若对 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中任一零测集 [tex=0.714x1.0]YEZ006Hwni4CHfhiGo7PZQ==[/tex],有 [tex=4.929x1.357]j3E5K1XnovebABusxSu2QQ==[/tex] (简称为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]具有零测性,或称 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 具有性质[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] ),则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的绝对连续函数.