若一元函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，令[tex=20.071x1.357]/rwdubLtLJNPC5bDZKMdplZs6vKwGLqlMxuvniBK++f00TF27V2iNVo2wLH9ZogrgP5pGzIyNj6RNMO0P9SOSfJJ9ec7N9tSZ9wao0B+mG4=[/tex]试讨论 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上是否连续? 是否一致连续?

2022-06-11

若一元函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，令[tex=20.071x1.357]/rwdubLtLJNPC5bDZKMdplZs6vKwGLqlMxuvniBK++f00TF27V2iNVo2wLH9ZogrgP5pGzIyNj6RNMO0P9SOSfJJ9ec7N9tSZ9wao0B+mG4=[/tex]试讨论 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上是否连续? 是否一致连续?

答案：

解：[tex=2.786x1.357]8h55IatM+kmchqxHnWProw==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上连续且一致连续。因为  [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，所以 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一致连续。 因而对 [tex=5.357x1.214]wnnVw3AI26tAAle5k2adK4hAxrNWuRtwL2qxo/hXrG1cWNPR6ZDBXSc2n3D8GpHD[/tex] 当 [tex=11.286x1.357]IjSrbYLTVxKxuID2DVOos0XdFbT+2eoihAKLYO5N6ve9Ai++C+rWt9IHZWzYQ3baFbF7Hh6iVCIR1i8xcoD5PA==[/tex]时, 有[tex=8.643x1.357]lnaXQPHiYI6XcbaRUPfjSNupvA43m1uvm1ns2711+elAC16oFg4eww9lsY3ZYDlNN696RKzrIU2+RMWn/pz9fSA2UnYo8ebxZshFvvElaG0=[/tex]由于 [tex=5.571x1.357]mqceXgctSUZw9oW6jN08aozJr8d2DigByEznVwT+wGQ=[/tex] 与 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 无关，所以对 [tex=11.571x1.357]GUMJN7Ei4kUMTULpk/73XOE4Cyqwhl+z7sifdcNI3MWGC+or4aRnaJR8zR+s9EjAEk2KfGp4YEiD7Rthb/3s3uJQxm8AaUcnGrEGAXiYcD0=[/tex]， 当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|$$<\delta,\left.\right|_{y^{1}}-y_{2} k \delta\left[tex=10.429x1.357]g+aUQa/kz+t1BIw1rxYPUGH+PbxRP6HCBisN42zQY4xZ3cGnzlfamFutssF8WUn7rm80z731QVbBb74cp3pdcP/FBy2yQNIjD7SbTHzaXO8=[/tex] (或 [tex=7.071x1.571]vUvZMfgMpbJuwhIaaATFB58r55kbB+5L7+inPPIVLfXX5LuQJMBLIl7gvnA6liz3tvnj1oNaotutsutR+cJShQ==[/tex]) 时,就有[tex=18.0x1.357]6efEJKyolHVGSBh/smh3NlAU+1skY2k//i1r7XqqkT5TXFmZLtxTBXmnAeGPRypm5fPq7fXfH1BUF7iv+h+1tUedk7AOmAnZMU2Kv5QX7JTbe/p3OvhNPq14VMN+u1tXL3qdDqOiqV/jDH/TZpYZMqeEHHdeD2/rl/gogYQiqjYIwDEZWP2UK+RBfehKqOdy[/tex]故 [tex=2.786x1.357]8h55IatM+kmchqxHnWProw==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上一致连续。

举一反三

内容

0
试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的有界变差且连续的函数. 若对 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中任一零测集 [tex=0.714x1.0]YEZ006Hwni4CHfhiGo7PZQ==[/tex],有 [tex=4.929x1.357]j3E5K1XnovebABusxSu2QQ==[/tex] (简称为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]具有零测性,或称 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 具有性质[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] ),则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的绝对连续函数.
1
设[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]定义在闭矩形[tex=4.857x1.357]5bV4pp2zYok4MNWGJLRzDh3KJPHhgyMqCfsOEOfUHtI=[/tex]上，如果[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]SAl91p0eolpEKYGm1OHiFQ==[/tex]上处处连续，对[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex](且关于[tex=2.0x1.357]SAl91p0eolpEKYGm1OHiFQ==[/tex]中任何[tex=0.786x1.286]nU+nrs3E2fr4zd4T9M4cog==[/tex])为一致连续。证明：[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=4.857x1.357]5bV4pp2zYok4MNWGJLRzDh3KJPHhgyMqCfsOEOfUHtI=[/tex]上处处连续。
2
【计算题】5 ×8= 6×4= 7×7= 9×5= 2×3= 9 ×2= 8×9= 7×8= 5×5= 4×3= 5+8= 6 ×6= 3×7= 4×8= 9×3= 1 ×2= 9×9= 6×8= 8×0= 4×7=
3
设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对任意[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=2.5x1.286]EPSGJZaCuwY5xHx7jbphAw==[/tex]适合方程 [tex=8.286x1.357]NrfAfdVJZxj47IYGp0SatnPBpQm8CbV+z0k8TH8YZfo=[/tex]证明：（1）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在一点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 处连续，则[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；（2）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上单调，也有[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；
4
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=4.0x1.5]o0EugHY/eN16Hz+QLo+BIUiKWbXKuxVC0tSzj7xDCHi+kyFognSyy6B7Ak0bbIxH[/tex]中的有界开集，[tex=3.857x1.214]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2ZtLvl+pxnfDP44ZAfSBunI=[/tex]为一致连续的函数，证明：（1）可将[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]连续地延拓到[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]上;（2）[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上有界。$A$ 上有界.[br][/br]