设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正规空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的一个闭集。证明：对于任何一个连续映射[tex=5.571x1.357]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2SFwh6zSlG//GtiXiCkg520=[/tex]，有一个连续映射[tex=5.643x1.357]Kkf4juLcWuoaFk4Ad6pAjVU7d7iq/GEGPZc/XeScdTE=[/tex]是映射[tex=0.714x1.214]OZevdH6uGNQxcBwPZQ11cg==[/tex]的扩张。
举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间。证明：[tex=3.786x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMk7zKkZhF2bgTbHz3S0yf+A=[/tex]是一个连续映射当且仅当[tex=5.286x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iLSwrngb6SRC2Tn5gE953Mw=[/tex]是一个连续映射。
- 设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMuOahKiPzLRrtzSIbjGFDt4=[/tex]是一个连续映射。证明：如果[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是一个可分空间。则[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]也是可分的。(这说明可分性是一个连续映射所保持的性质，并且由此可见，它是一个拓扑不 变性质，可商性质。)
- 设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为距离空间, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中子集,令 [tex=10.643x1.357]5cM/LvJqoCikO7A5c+WCIGNRUqezDJxu3zpxuE11UPKaIvCUSRrZmDCbItUQwXHvm/mb7WPRr4/CaMIdGTZddg==[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]上连续函数.
- 设[tex=1.571x1.0]TYvJVTKRr6FnfPb2CtQh4Q==[/tex]为拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中连通的两点，证明：对于任一 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的既开又闭的子集[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，或者[tex=1.571x1.0]TYvJVTKRr6FnfPb2CtQh4Q==[/tex]都属于[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，或者[tex=1.571x1.0]TYvJVTKRr6FnfPb2CtQh4Q==[/tex]都不属于[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]。
- 求集合的导集和闭包.设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是可数补空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中的一个不可数子集. 求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的导集和闭包.