设曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]上任一点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 满足 [tex=4.357x1.214]LNDW8j7QgtFNvrPd5Ot3Cg==[/tex], 其中点 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为曲线在点 [tex=1.0x1.0]h30MGzl4YMzpZdtHWcz0bA==[/tex]处的切线与 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点，点 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 为点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 在 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴上的投影点. 已知 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 过点 [tex=2.286x1.357]/a/vJiIC3Rr22SylXe49cg==[/tex]. 求曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方程.

2022-06-14

设曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]上任一点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 满足 [tex=4.357x1.214]LNDW8j7QgtFNvrPd5Ot3Cg==[/tex], 其中点 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为曲线在点 [tex=1.0x1.0]h30MGzl4YMzpZdtHWcz0bA==[/tex]处的切线与 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴的交点，点 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 为点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 在 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴上的投影点. 已知 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 过点 [tex=2.286x1.357]/a/vJiIC3Rr22SylXe49cg==[/tex]. 求曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方程.

答案：

设曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方程为 [tex=3.143x1.357]ee8UVMi6ncRcyeiuuPl14g==[/tex] (如下图 ),则 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 上点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处的切线方程为[tex=6.357x1.429]6qUeHmKXGp/4TD3EnHw8+Oob+8DpYtGIyTs+Ka+Ni6I=[/tex]，[img=281x199]179562c31065c39.png[/img]令 [tex=2.143x1.0]7vNl/Z+qm0vbHBwYNiEVwg==[/tex], 求得点 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的纵坐标为 [tex=2.643x1.357]tobr3Hhf+CY3+kJ3DgI5Qxh7dMD5PrNzfMVkPrX8usQ=[/tex], 即点 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的坐标为 [tex=4.214x1.429]65PRdkGKmLh+RJUABPLEeX5dCnTNx+r6MQvbsr7YNa3IMH7TY5LnctsgD2hkhFx3[/tex]. 又点 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 的坐标为 [tex=2.143x1.357]WXgYgsb9iAzzk1LFveBoyQ==[/tex].故直线 [tex=1.571x1.214]MiLow2UBOg0FBpWp6ijNUw==[/tex] 的斜率 [tex=4.714x2.5]RvYS6EVL13tdG6sNoUcJ5aLFzjmQNNU39HWuUjHV0DhxqbGMaIBwQ4Wu30+YkTce[/tex],直线 [tex=1.429x1.0]Mr9IA6NMhW4bgWjE9YHLeQ==[/tex] 的斜率 [tex=2.643x2.143]aHZT5qhtTlJRdqss1bh9WHogjTz9cgjN19zP5x+8k0Y=[/tex].由题设 [tex=4.357x1.214]LNDW8j7QgtFNvrPd5Ot3Cg==[/tex], 故得 [tex=3.857x1.214]lQ+/iqbCFopcM5U3JlElSvEH3XmcQC+r6zjEeR+GLZw=[/tex], 由此得微分方程[tex=6.0x2.571]ubX6pZX5fZXZdtgtXKEHniqBcCWB/1U/bzmFHV5sbycr/EiHIcWOKOf8F0F9lMt0[/tex]  或 [tex=7.214x1.429]7r289rnGXgnOXUSnyeS/NIEytFCWWVMb7/dD3UQvpEqGBsMibmd8Nry+uj1CPowk[/tex]即[tex=9.214x2.714]cWJSHEWUlBufMLmyWX04BGTtmxGlFgO38i/5vhl093pvmLx3XnrufQf4dCJkQ8Lcp7Er5+pS5yLp+LsxJxSKk2LUcPK9+l5imM9Q+W1s3eI=[/tex]，这是齐次方程. 令 [tex=2.357x2.143]MMPL4kyx7z8/clPFZ5GLcw==[/tex], 则 [tex=5.714x2.429]s4QumE5pv31BDaGg1MTOdBZoQR3e7pbzgiAL1DXxqXMpwJU0iU+EQOIJCV9AdqR7[/tex], 代人上式得[tex=6.714x2.429]nYJYqLzexTK9X3GM1B8Pu4d8jIb88691yN87Sha7jfZGN7LxxBgo83b5ssgMwCTJ[/tex], 即 [tex=6.214x2.429]JzK5IcD6qJfMhmPlRlCY7eANV23H5L9FYFPYFNVVYj9UP5Z4AqJyvf9MaO61MqoB[/tex]两端积分得 [tex=6.214x2.5]TUaiTXvM5ubWqGgWyPfCbCvtr7rxnEgmU/Jlq9gc4ZM=[/tex], 即 [tex=7.429x2.5]5Teg9NaxyzJ+tvvoZDUgefsrExodcLglT3yvc+J8XbebZOcg+c04Jg6wa8cOf6aV[/tex]代人初始条件 [tex=3.571x1.357]xQFfHzpN8V3oA6VrzUNN9lArQSFfTARwUP3a+q3Urds=[/tex], 求得 [tex=2.286x1.0]OgqdqiPWslnmSeGdPNDtTg==[/tex] 从而求得曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方程为[tex=12.929x1.643]gfJ85wNp6Kug/D7p7VPuv8hixW/lj3SvLnsWtRUBWrXghAcP/Y12DDPOn49i2KXXHjcXyFNwSCWNMRlDpkQ7Cg==[/tex].

举一反三

内容

0
设 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴正方向到方向 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的转角为 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex], 求函数[tex=8.071x1.5]/sT/AbKDQ8781LFnllHoOZo3vVkWfzSCynygzWNL8Es=[/tex]在点 [tex=2.143x1.286]OGI1nc8WH38NKUnYUafisA==[/tex] 处沿方向 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方向导数,并分别确定转角 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex],使这导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于 0 .
1
计算[tex=9.643x2.643]R9RaQILMZ31ViFFClgWPiNDHyeMh8ZNduKoyOZsYFQqKX8SwJExAy8Odzz6+cWAK[/tex] , 其中[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]是折线[tex=2.286x1.0]NUuG7+ZzrqHobeH3jMZzYg==[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为点 [tex=3.429x1.357]iKRKYCFRaf+Tq5Gm18Ex9Q==[/tex]为点[tex=3.429x1.357]QcfmunS1mDSiaSEc+rQJ5g==[/tex]为点[tex=2.286x1.357]/a/vJiIC3Rr22SylXe49cg==[/tex]
2
设点[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]分线段[tex=1.571x1.0]JLMbVw4e37VvhkU494+8Ew==[/tex]成5：2，点[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的坐标为[tex=3.214x1.357]T5eFhnPu0rsIoQnWYaiYKg==[/tex]，点[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]坐标为[tex=3.214x1.357]zTAzSgXh1TiduADsLhWXzg==[/tex]，求点[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的坐标。
3
设曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的极坐标方程为 [tex=3.286x1.357]fs6E6r7hXTB0SW4gdQIrm+MdniQPjpT6x8Epb+Mgv1I=[/tex], [tex=3.429x1.357]kLIyN4EiceQd1pMgFf9UFa8qHPAlIj3V26oqZuff2mk=[/tex] 为 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 上任一点, [tex=3.5x1.286]5akrPvz7zF+dNwkFbG/eqw==[/tex] 为 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 上一定点. 若极径 [tex=4.286x1.214]iaeGJipp/TKSKtfqD8/GGg==[/tex] 与曲线所围成的曲边扇形面积值等于 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 上 [tex=2.929x1.286]iIhlDzlXCdttneE+RoOTaA==[/tex] 两点间弧长值的一半,求曲线 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 的方程.
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一曲线过点(1,0)且曲线上任一点[tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处的切线在[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴上的截距等于[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]点与原点的距离.求该曲线的方程.