设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵组成的线性空间, 令 [tex=14.071x1.357]526RfeuoVuYFKMeevCzg3ALQwrIMoLSjnd4jNqAgq3b0SbOJw1J3W132MAq3sEvgFgMY+RJMUHzLRJJVfTrs8Q==[/tex] 是第 [tex=1.857x1.357]DPfV/kz2+j7DkAnudNw66w==[/tex] 元素为 1 、其余元素为 0 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证: 全体 [tex=1.286x1.286]TpiThXZs62EvtJGFwo2zsw==[/tex] 组成了 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基, 因而 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=1.5x0.786]uDlrM/k6mXUKzRmRUTQRAw==[/tex] 维线性空间.

2022-06-12

设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵组成的线性空间, 令 [tex=14.071x1.357]526RfeuoVuYFKMeevCzg3ALQwrIMoLSjnd4jNqAgq3b0SbOJw1J3W132MAq3sEvgFgMY+RJMUHzLRJJVfTrs8Q==[/tex] 是第 [tex=1.857x1.357]DPfV/kz2+j7DkAnudNw66w==[/tex] 元素为 1 、其余元素为 0 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证: 全体 [tex=1.286x1.286]TpiThXZs62EvtJGFwo2zsw==[/tex] 组成了 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基, 因而 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=1.5x0.786]uDlrM/k6mXUKzRmRUTQRAw==[/tex] 维线性空间.

答案：

证明  一方面, 对任意的 [tex=5.0x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x296bXqaCDqQobeJuYdbl8YI=[/tex], 容易验试: [tex=8.0x2.857]z3oVhwrsCcnQ8cRlTJJaunkdDOLci0u6fZTzFIyJMpIB1gV4xA8LJeyTqCJkLliA69nzv5Y4VOSdlQ26EpKtBA==[/tex] 另一方面, 设 [tex=1.5x0.786]uDlrM/k6mXUKzRmRUTQRAw==[/tex] 个数 [tex=10.786x1.357]OdbUltkPT1UeeD1d5QDMVKO1K639WSI7xO+JH93bA0ZMERxsNnkOjCTvcQSovqLv[/tex] 满足 , 则由矩阵相等的定义可得所有的 [tex=2.571x1.286]1gg9fsdW61b1Nq3E874M7w==[/tex] 因此全体 [tex=1.286x1.286]TpiThXZs62EvtJGFwo2zsw==[/tex] 组成了 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基, 特别地, [tex=5.0x1.0]NovbxKl63Ey/milqTcbe//oI/lET5y4o2+1a+ZjB3nw=[/tex] 

举一反三

内容

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设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是实数域上连续函数全体构成的实线性空间, 求证下列函数线性无关:(1) [tex=10.0x1.214]owlIZSkaaVyD56TX0aU6T5coc+O9ohQlAuuKvYXA4AwNcaRf+OGEEvyl7oF/rJCp[/tex]；(2) [tex=11.643x1.214]0hPVnwQ5GNDHffP2A8hk2jtiKKzdepIYmrE9NOzYccJa62RuXUkd06ngcqomBwJR[/tex](3) [tex=20.143x1.214]Sx5L/ZF55Y/cJTSfhmgKUOw6VEOXFRqglwmRTz9oJltKgVT/9ukFFfF7w23eOFtPpSaPROEzlNtUC6j4EU33pnOIjI4E7IKgym85G3M1Lg8=[/tex]
1
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是由数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上次数小于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的多项式全体构成的线性空间, [tex=7.214x1.357]AHK0WmE4lcixgH0tc9s+mmI4d6DJOsshX3wlPRZpFGg=[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 中互不相同的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个数, [tex=22.571x1.357]gCwF3zUatVwRc+eUWlMowxwihDYdl81R02FLSVpDcDzUTpECxdwTxdpNHIuxF1ZAnSyUZpCAA1xQPoE5qwv4tR0KS5j98eGEnrVvonLaWlb9o9hXT5FYGv/3Stbjk06amjHQlZQ3OS2DVAym8ohIconBaJrFF9Xk0y4BfZPD6qU=[/tex], 求证: [tex=9.5x1.357]AR04WuoZjDqodbAhlXwMYLwi5m6oTT7YbZCawFsWRWGnv6mXiIsownhOrshh46bt[/tex] 组成 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一组基.
2
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间, 则 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上所有交错型组成的线性空间的维数为[input=type:blank,size:6][/input]
3
设 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是 [tex=2.929x1.357]eNe4MLnVkbXNSGDW9QMzng==[/tex] 中所有 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 次齐次多项式组成的集合, 它对于多项式的加法, 以及数与多项式的乘法成为数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的一个线性空间. 给定数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的一个 2 级矩阵 [tex=4.0x1.357]n9szCAW9NR93NzdWHX2+SIQ0GT4Z8F6rBFH2My+/Q0k=[/tex] 定义 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 到自身的一个映射 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 如下: [tex=17.214x1.571]OOrxAXSMYCYUc5u06APP1HKDby6i7DnfukgrWzxCU1A3gxziBGBdJDm8pslpS7CN7j1FvLYcmwQLX8b0QTEYVVwC0AZhgDmdhawaXEX7EktcQufvMgLLcMrobRFV/OSI[/tex] 判断 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是不是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个线性变换.
4
求复数域上线性空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的线性变换[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征值与特征向量, 设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基下的矩阵是：[tex=6.214x2.786]3BT1BgBZQ5uJXxD5dg+w29wlCih+1lhpjAuwkpfyi8StndXPsLnn4tlIVuXhjahBrIGFeDZN131CPy4AyBjcEA==[/tex].