设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是复希尔伯特空间[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]上的有界线性算子，如果对每个[tex=6.643x1.357]AyKyLqotUanDaOlJIKD6NAnAwBalHQGc6o2G1VRyg28=[/tex]， 则[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]，若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为自伴算子，则不论[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是实的还是复的希尔伯特空间， 只要[tex=7.643x1.357]AbIesx43rNd/ZElqoXa+O9yxkH0/Wl7KTlTS3xwkhoQ=[/tex]，就有[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明： １） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是反对称矩阵当且仅当对任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]； ２） 如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对称矩阵，且对任一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] ，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]．
- 设[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为希尔伯特空间[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]中的有界线性算子，且[tex=3.429x1.357]Z5GIicx/68bK45nU5jMiYpwu8wcLZ8SkI6puFlr0+7U=[/tex]，证明[tex=10.214x1.357]s9VTo0PJX+4nKQNKwSyjO7Eis3RnHMme4jptpqvG6vGSCLkyUe424oOWjX9qK5qE[/tex]
- 设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]为希尔伯特空间，[tex=5.357x1.357]If06r+kP9vuOFsrER2O4jcGPsWfaAwOZsAgnlzsCAZg=[/tex]为[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的希尔伯特共轭算子，证明[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为紧算子的充分必要条件是[tex=1.714x1.071]DboUdCJehr/B2VurdmfBFQ==[/tex]为紧算子。
- 设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是希尔伯特空间[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的子空间[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]上的有界线性泛函，则[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]在[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]上存在惟一的延拓[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]，适合[tex=4.5x1.357]VIByYaqQdUC/a0Xwk7BlPA==[/tex]
- 矩阵称 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为对称的，如果[tex=3.357x1.143]2clv6Xa+ixytxjXZ9Y3BRw4dAIuaCrPoZV0cyMNFz6M=[/tex]证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是实对称矩阵，且[tex=2.429x1.214]9Dzmlpoqgb8wUTG1Zrz7Jw==[/tex],那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex].