设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个数域。 [tex=0.5x1.214]xOiZa9kFnjYeHB3PTbO+3w==[/tex]，[tex=7.857x1.357]jCWyoqjXrY64EOb88P87GtmT1ppj4w2rIYw7oajR7JlSwkMP50RE8fd9O3Yjq2IGHe0VdWmAlEPOZHH41RYPBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]元多项式。如果存在[tex=7.929x1.357]K9NuB0z4ZFKvKXN85JfwTG2/VEjcLuk2denP6+Ed3rIjwdG1gThUGJwgAT+5xkAYnLYSXxKjW8xCYuMrxpK/Jg==[/tex]使得[tex=2.357x1.214]zMwXmmQ73pXRZ5GcslRYtg==[/tex]，那么就说[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]是[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的一个因式。或者说[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]整除[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 。举一反例证明，当[tex=2.5x1.143]Z8A/nlCICwjyBsX7aR53kQ==[/tex]时，类似于一元多项式的带余除法不成立。

2022-07-24

设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个数域。 [tex=0.5x1.214]xOiZa9kFnjYeHB3PTbO+3w==[/tex]，[tex=7.857x1.357]jCWyoqjXrY64EOb88P87GtmT1ppj4w2rIYw7oajR7JlSwkMP50RE8fd9O3Yjq2IGHe0VdWmAlEPOZHH41RYPBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]元多项式。如果存在[tex=7.929x1.357]K9NuB0z4ZFKvKXN85JfwTG2/VEjcLuk2denP6+Ed3rIjwdG1gThUGJwgAT+5xkAYnLYSXxKjW8xCYuMrxpK/Jg==[/tex]使得[tex=2.357x1.214]zMwXmmQ73pXRZ5GcslRYtg==[/tex]，那么就说[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]是[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的一个因式。或者说[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]整除[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 。举一反例证明，当[tex=2.5x1.143]Z8A/nlCICwjyBsX7aR53kQ==[/tex]时，类似于一元多项式的带余除法不成立。

答案：

选取二元多项式[tex=4.0x1.357]T3Tnkx1XUZZGIg1SKbDqEw==[/tex]，[tex=3.929x1.357]SnapA7yfiFiHTFEfEjWqTw==[/tex]，对于任何二元多项式[tex=2.786x1.357]4ylOW/NMjg8lELFCGgW5/w==[/tex]，要使[tex=8.0x1.357]dP3bwoAj72sjF2MmKrL2b24TkocvBq9W8jDMu1dpdnk=[/tex]而[tex=3.857x1.357]p83+RICoLlGEKzdB+fVPnw==[/tex]或[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex](常数)都是不可能的，故带余除法定理不成立。

举一反三

内容

0
设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个数域.[tex=7.357x1.357]oFczQMpeI1pC0RG5YTtogQP81WmiQQL2jEXHxqcSfgz7cXS9i0sXDEidLzRkquiT[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]元多项式. 如果存在[tex=6.714x1.357]1u2I3rFzkSFUWXG3YUE8UCRrz09TIUVHCqLUYjEYW0u/ZDL8hBGMRxUxMbaPwJaD[/tex]，使得[tex=2.357x1.214]zMwXmmQ73pXRZ5GcslRYtg==[/tex]，那么就说[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]是[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的一个因式. 或者说[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]整除[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex](i证明，每一多项式[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]都可以被零次多项式[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]和[tex=0.929x1.214]4r+9I21cGEnp/nHe9xi5gQ==[/tex]整除，[tex=4.286x1.214]gphoE18kXjadNgPKKD/PVLvitBmwkCCZQYfxN/LDTa8=[/tex](ii)[tex=6.643x1.357]Qm+cXiBudKrk1BuPycvA0MO5Mv94WLpr6NhWC1zitYvqJfLQqnER3vPqxkhoCc6o[/tex]说是不可约的,如果除了(i)中那两种类型的因式外，[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]没有其他的因式. 证明,在[tex=2.571x1.357]t37p2pA9dj18o1EFiwWiXA==[/tex]里,多项式[tex=6.0x1.429]78DnEottU6J+QS54iEEoS/uMohWSkyQ3Sjf4VvwLG88=[/tex]都不可约
1
设 [tex=8.5x1.357]dMwRCw5eQ5pV28qim/u6FTEOTbJaVeyrC+PYRxxCZguVmj0PONe7HmU3vpqHw0tb[/tex] 如果存在 [tex=7.643x1.357]ZxTbBGArvtXVM393gFs9UKGNxA7RklkhMU8lcbNmkd5CSeiToyKKzLc3ruWPT/LI[/tex] 使得 [tex=2.643x1.214]QT8iVNRebDafaPVuJ+YOPQ==[/tex] 则称 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 整除 [tex=0.786x1.214]GujRxQK6+xAVR+LPU4S9Cg==[/tex] 记作 [tex=1.857x1.357]/rD33BleFwmXOUaQMVzaog==[/tex]. 此时称 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的一个因式. 如果 [tex=2.143x1.357]4OEfTPR7lMcL4zfcD/5YbA==[/tex] 并且 [tex=2.143x1.357]jzpyxw6pke14yiDHzNBwvQ==[/tex] 则称 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 与 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是相伴的, 记作 [tex=2.071x1.214]AsIPUfJWPNvLCLF9x0+rbw==[/tex] [tex=7.143x1.357]YU1CO2rQBqtt8v6gyctwoFSpZEv36OLAIwTJZcULFC/epOHYtreR2cGRqntxciq8[/tex] 称为不可约的, 如果 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的因式只有零次多项式以及 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的相伴元. 否则称为可约的. 证明: 在 [tex=2.929x1.357]eNe4MLnVkbXNSGDW9QMzng==[/tex] 中, 多项式 [tex=2.286x1.429]swX/ySFnkZNxnN86LJYgRA==[/tex] 是不可约的.
2
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵集合到 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 的一个映射, 它满足下列条件:(1) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=11.857x1.357]PyBoS3zBK0M8dFy5nc2BCQAjvq9LapSCVSEPLvCboCNL9Sf89YDDNJnh9P6XU+Xa[/tex](2) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中数 [tex=7.143x1.357]ZssA/FjDDGKlA7//o6lvBHjGIYzZWXwRor3cGphMPPA=[/tex](3) 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=9.071x1.357]CV7XimFyNvpshBoHaexhcrFdFwXW4pEFstEvGviliLE=[/tex](4) [tex=4.143x1.357]mTjc3HPxil5qpbqmEffFWqjszfkzs0w4AuinGz3AXRg=[/tex]求证: [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 就是迹, 即 [tex=4.714x1.357]abvMETy3K96uBRzmzh1OP8sPIldqFdFpE5NVrVc0Ciw=[/tex] 对一切 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 成立.
3
已知[tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex]是可导函数，[tex=0.571x0.786]WLga5RWgrUta8vWDwROpYA==[/tex]为实数，试求下列函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的导数：[br][/br](1)[tex=7.071x1.357]v21zEkDoMkBc8f7YchBN+oIyy4ANLiyH9hiyIhtvpJA=[/tex]；(2)[tex=7.071x1.357]b9aK1SebpmzwMBC338YzRKzJrljX2jt5U/kV3fSxqik=[/tex]；(3)[tex=6.286x1.357]JxXCGdUuzNxS7ZI7+zEj30kUu/3d3CjqnsqfLf+Y3oU=[/tex]；(4)[tex=6.286x1.357]PW+DAV2BAvZloXe2fXBTQC90pFd/j7+4tQVVKZEn10c=[/tex][br][/br]
4
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的一个双线性函数. 证明：[tex=13.429x1.286]MyfT4pXHX7fJ0rpluwSnCSQO5KLtoJ5AHPQd3E61UJQvL19TIkXjV01aXM872yvLt3VghIHvCdD9z7mcCrYvKyvKps/gVcCnQ+hpLcDaTdU=[/tex].