设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 为酉空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的正规变换. 证明:若 [tex=0.714x1.0]UF6bSrGL+IxoE78FFIRkgA==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 交换, 则 [tex=0.714x1.0]UF6bSrGL+IxoE78FFIRkgA==[/tex] 与 [tex=1.214x1.071]HlidmFMyTdjvrppsysOUhYdfU4W7C6NGv0VvVYLhwPA=[/tex] 也交换;
举一反三
- 设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 为酉空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的正规变换. 证明:若正规变换 [tex=0.714x1.0]UF6bSrGL+IxoE78FFIRkgA==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 交换, 则 [tex=1.5x1.0]cjQ5gP7XQGt+3SlrvJ8xBQ==[/tex] 也是正规的.
- 证明 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维 Euclid 空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的两个对称变换 [tex=1.786x1.214]FmXqMeQCgG8GJUCsyvSzl7jXup8fvJYeTZKF5GfJ6xM=[/tex] 的积 [tex=1.5x1.0]cjQ5gP7XQGt+3SlrvJ8xBQ==[/tex] 为对称变换的充分必要条件是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 与 [tex=0.714x1.0]UF6bSrGL+IxoE78FFIRkgA==[/tex] 交换.
- 设 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 是酉空间, [tex=4.143x1.071]d9y+KLOQpwgiIZSOmy+Nwt7Ve0j+HY8eh0wJw2Fgz64eDQsAJCDAG9FgL4B3ssjb[/tex] 证明:存在 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的标准正交基, 使得 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 在此基下的矩阵为上三角矩阵.
- 设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维 Euclid 空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的线性变换. 则有 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的部分正交变换, 半正定对称变换 [tex=1.714x1.214]CAZ/CktyB9gpB7kpw+Fp6Pd1GPtITBCGAotVpgm+e/o=[/tex] 使得 [tex=8.786x1.214]93/fiUVyu9uE1N0pLYBh9bXHUzxpP9KzFPYS3oCguacVYRNJIJpOfZMKxDnUgDXPtuna8/k2ZvQdB4CIdMIzEv1kVzQdtRJCOnLI7QiXMet8YeuHvGD15Oo/eRaZaVcDjDlTgB2YFWmp6vYsNU6uXw==[/tex] 且 [tex=1.714x1.214]CAZ/CktyB9gpB7kpw+Fp6Pd1GPtITBCGAotVpgm+e/o=[/tex] 由 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 唯一决定.
- 设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 是数域 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上线性空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的线性变换，[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 是 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的不变子空间，[tex=0.857x1.214]ZdxcNk2+dFksDrQrx/cz4MSy3OELSu1cby4a6Qz3q84=[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]pgEl/yn5MrHj4Hl4xVXERQ==[/tex] 上诱导的线性变换. 若 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 只有有限个 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的不变子空间，则 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 只有有限个 [tex=1.786x1.357]GQmdrPYXs/Yvv1PiTQW1W5m0yAqpTVCUMzMk1LQlQNo=[/tex] 的不变子空间，[tex=2.071x1.357]pgEl/yn5MrHj4Hl4xVXERQ==[/tex] 只有有限个 [tex=0.857x1.214]ZdxcNk2+dFksDrQrx/cz4MSy3OELSu1cby4a6Qz3q84=[/tex] 的不变子空间.