设[tex=4.071x1.357]NqXKj4adb9u1Yj7QfBjuog==[/tex]在一个平面区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]中有定义.假定[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]有这样的性质，对于其中任意一点[tex=3.0x1.357]vwClgBOs/FToQJNjGiKg16Y3S1YqjfrJK7czLCENjaw=[/tex]，区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]与直线[tex=2.143x1.0]HsTt/KrkRQ64ohzzrSTkTw==[/tex]之交是一个区间.又设[tex=4.071x1.357]NqXKj4adb9u1Yj7QfBjuog==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]有连续的一阶偏导数，若[tex=2.786x1.357]eWdlhSDnEKsnC2m9ymU17w==[/tex]对[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]的偏导数恒为零.也即[tex=9.786x2.429]VGXzV15psxV0cBMwKVrVbvWjyV+Ub8E03vASZz/mwLkMMbZGmUOAmBrzBVZZIolyzEA/+CxsyHLV1ijVQot4TYLcZTxWvSQ3lgsynBUieEA=[/tex].证明：[tex=2.786x1.357]eWdlhSDnEKsnC2m9ymU17w==[/tex]可以表示成[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]的函数，也即存在一个函数[tex=1.929x1.357]5B6XrG9HteMA0i3Tgwsbeg==[/tex]，使得[tex=10.571x1.357]hav9GgZf5DxrJTPMZrtNoKMixZSa7XB/KOCU3z1kKziTFmpAhi5asfFlcLZpAnyG[/tex].
举一反三
- 若:(1)函数 f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数;(2)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]有导数;(3)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数及函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数,则函数[tex=5.643x1.357]GmtX7Vop79exGU/rpqXUYw==[/tex]在已知点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]的可微性怎样?
- 设区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]位于上半平面，[tex=1.357x1.0]UFRizq9gnwkyuNYYdnUegg==[/tex]是[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]关于[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]轴的对称区域，若[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]内解析，求证[tex=4.429x1.571]v8DlkywgR/r+yNcJMZ93B3lKrNJ8mx9O5wISkdBDtYg=[/tex]在区域[tex=1.357x1.0]UFRizq9gnwkyuNYYdnUegg==[/tex]内解析.
- 证明：若函数 [tex=2.786x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex] 在有界闭区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex] 上可积,则 [tex=2.786x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]上有界。
- 若函数[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在区域[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]解析，且满足下列条件之一:(1)[tex=3.786x1.357]y8jXXo634iABPGCwehjrlg==[/tex]常数; (2) |f(z)} 是常数,则[tex=1.786x1.357]5GXDBi3fRz6I6Au55YSUHw==[/tex]在[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]是常数,试证明之.
- 若:(1)函数 f(x)在点[tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex]有导数,而函数g(x)在此点没有导数;(2)函数f(x)和g(x)二者在点[tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex]都没有导数,可否断定它们的和[tex=7.214x1.357]oX568MWmpJJk2c1dN8FEzQ==[/tex]在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数?