设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵. 且 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是正定的. 证明: 存在实可逆矩阵 [tex=0.714x1.286]BMKsEVFNvpiLV0UsqDFXCw==[/tex], 使得 [tex=5.357x1.286]N/5UAR85rTS8OGHqcWvMVJRgJZf7qrME+wYyNCklKWHtGrGTJfQLJk82QwPDhH1v[/tex] 都是对角矩阵.
举一反三
- 设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]是两个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵, 且[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]正定, 证明: 存在可逆矩阵 [tex=0.929x1.214]RjlejK6D6JSwVAeYdCSJQw==[/tex] 使[tex=5.5x1.429]fcsfChfBk+9rqnzF/sEAnDcAfeGifZsKGQ6KEEpUAxs=[/tex]同时为对角形.
- 证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实对称矩阵，则存在一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实可逆矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使得[tex=2.714x1.214]lzPCT5yF+LgDKywlyUEMYQ==[/tex]与[tex=2.714x1.214]Aq6HwIZW7B8JTiPGula26g==[/tex]都是对角矩阵.
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，证明: 存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=9.143x1.429]XRMmUOtjtKMyseaeIn9jPM1TnNKlMhqAAioUZ3jWn/FX+SyCCFosC01uB/CWa/Kl[/tex], 其中[tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角矩阵。
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵. 证明存在正交矩阵 [tex=0.714x1.286]BMKsEVFNvpiLV0UsqDFXCw==[/tex] 使 [tex=4.571x1.214]aA8Ln8oOBLFa22UQ2Hn7UUkDW7m0m7goFnAnKhfj2Rc=[/tex] 的充分必要件是 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 的特征多项式相等 (或特征多项式的根全部相同).
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定实对称矩阵, 证明: [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 可对角化.