设实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为 [tex=2.643x1.071]DtblSgHpoGAPwi46dOaVgQnwvW/jeDaBCUz4o5gSjds=[/tex]实矩阵，试证[tex=2.857x1.214]tcG+8IIJJKk7PoAcfI6Jyc1ywV5mw+R/Vvlesyi0krQ=[/tex] 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的秩 [tex=3.643x1.357]DGeb8FXg9a2sGpXznZkGCw==[/tex]

2022-10-25

设实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为 [tex=2.643x1.071]DtblSgHpoGAPwi46dOaVgQnwvW/jeDaBCUz4o5gSjds=[/tex]实矩阵，试证[tex=2.857x1.214]tcG+8IIJJKk7PoAcfI6Jyc1ywV5mw+R/Vvlesyi0krQ=[/tex] 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的秩 [tex=3.643x1.357]DGeb8FXg9a2sGpXznZkGCw==[/tex]

答案：

证明: 必要性。设 [tex=2.786x1.214]SGQEU4Al11P+jzihoyppZQ==[/tex] 为正定矩阵，则对任意的实 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维列向量 [tex=3.0x1.214]bexwNhG9i8yLxJbxTfm8Mw==[/tex]有[tex=8.286x1.571]uu2GF/1e57fAGCQrtVJsoccH6uxjdqWjDZ72qRT102TekOc2NGp2qzUjfdSekkk5RZQLiC7do6wdXsy8IN4ymw==[/tex]  即  [tex=7.857x1.5]IKRLyYiBPnq57EcupbDSwJswMyLpvZTwnkQ84+2EDE4=[/tex]于是 [tex=3.714x1.214]PpEn2B58j/CjQ1OHHsUWjg==[/tex] 因此 [tex=2.929x1.0]3xKvx2l34yWjGnyDc6lEMA==[/tex] 只有零解，从而 [tex=3.429x1.357]gzMRbzVipyzp2RnQdbwoRw==[/tex]。充分性。因 [tex=12.643x1.786]f0nUMvTvHoampW534ZuqPAgXow6kuZWIFRDBatalDSfO32jRER8nEVEpsNecypvwDERYnaWjuymVM6FVKbAutawBcai59r2SvJik6Ty+ivneGvwAejyFyOHQKOG7hVvv61HZCkyhTa9J/cy86+BrVg==[/tex] 即 [tex=2.929x1.214]ygtoTCAaYHVFF/4huYe9uLvV8IZQhFoHiZO/30n2j9o=[/tex] 为实对称矩阵。若 [tex=3.643x1.357]bltx5cja9YOQxRGt25Dq6g==[/tex] 则线性方程组 [tex=2.929x1.0]3xKvx2l34yWjGnyDc6lEMA==[/tex] 只有零解。从而对任意实 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维列向量 [tex=2.714x1.214]Qw8pOrIz3TvspleB26JBfA==[/tex] 有 [tex=3.429x1.214]nTfg0lNe3A7tkulu62QdxQ==[/tex]。又 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定矩阵，所以对于 [tex=3.714x1.214]PpEn2B58j/CjQ1OHHsUWjg==[/tex] 有[tex=6.643x1.5]qUc/CyKEtCAV3TTw/L+b6fFDT9Ob56BXNPqFqT+3ais=[/tex] 于是当[tex=2.714x1.214]Qw8pOrIz3TvspleB26JBfA==[/tex] 时，有  [tex=8.286x1.571]uu2GF/1e57fAGCQrtVJsoccH6uxjdqWjDZ72qRT102TekOc2NGp2qzUjfdSekkk5Jv/T4JEyCIuxSsNssiEoUA==[/tex]故 [tex=2.929x1.214]ygtoTCAaYHVFF/4huYe9uLvV8IZQhFoHiZO/30n2j9o=[/tex]为正定矩阵。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵的充要条件是存在同阶实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使得 [tex=2.786x1.214]or70cFxB56GcrSSRwtcDrw==[/tex].
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵, 已知 [tex=5.5x1.357]AhNdH2MMZrSh49k5SUPih3WmvYY4iHWErcMsIMMT5L8=[/tex]证明:当[tex=2.214x1.071]64bbjuyExeVSV8gL25b8fg==[/tex] 时, 矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为正定矩阵.
2
已知三阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为 1，-1，2，设矩阵[tex=5.143x1.357]GXZk0g8n9F5fV4GyCGm9mygQSr4Yd8XrtrSrBIW9ziE=[/tex] .(1) 试求矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的特征值; (2) 问矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是否可以对角化，说明理由，如果[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]可以对角化，指出与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]相似的对角矩阵.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 求分块对角阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 的伴随矩阵:[tex=7.0x2.786]ovHWduPws52YVAJ/g1Zko9wu/7uar9vx61Hguiymvg2GtFhkLVDeFiqS5K5JvzTl1tHam2La1Osp8tAd/1Zi5Bpl+hf9zrTltWzQY4lSbSI=[/tex]
4
设 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是实 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称矩阵. 试证 [tex=0.786x1.0]VCFC+VP8w+sMJeRvvNnjBw==[/tex] 为正定矩阵当且仅当对任何正定 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]PutU1cWdyHyySBp7YfCWhQ==[/tex] 及实数 [tex=9.714x1.286]oUHjocG8NyrFpz5xluPGjVBwMqdo0SsQbqcFfRrPl5De1mcdBqGoXCbTQU2+CJKBWCubJ4DGp1EJ8LN1Lp9fGQ==[/tex], [tex=3.5x1.214]OwSXGS2Xb/MLUGvk44HeeUvDzEABepl8Va4Fc3Yyq5w=[/tex] 是正定矩阵.