设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]实矩阵, [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶单位矩阵, 已知矩阵 [tex=6.0x1.429]E+KTwla4iIiovZQyXGi91W7ZkjJxF+GOto2j106uo+U=[/tex] 试证: 当 [tex=2.429x1.071]8zpXB85KiofkRevQFrdlFA==[/tex]时，矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为正定矩阵。

2022-06-03

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]实矩阵, [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶单位矩阵, 已知矩阵 [tex=6.0x1.429]E+KTwla4iIiovZQyXGi91W7ZkjJxF+GOto2j106uo+U=[/tex] 试证: 当 [tex=2.429x1.071]8zpXB85KiofkRevQFrdlFA==[/tex]时，矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为正定矩阵。

答案：

证明：因为 [tex=14.571x1.786]11XMwc3AL0Aq9CL9Vlgn4EGiL9wHa0Ctnt+3QiwqGkdTfiDfRRPF4swFmkVdDh4KYdYdvaucGYIROPGK5MGD6It8PQ5/Av4jx54HxlAdsg2dyCCu/yOP0WnEZjPWItzVRsWLRCVZLwmVki8ERi8L6A==[/tex]所以，B为对称矩阵。 对于任意的实 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维列向量 X，有[tex=29.143x1.571]uu2GF/1e57fAGCQrtVJsob0anyXUsJEmYvOf4XIaryrbskZdjL1Stgmn+diLMh/XHJ/DALeooGAm0Wg3tg3VaQM40EMdKYLYzsmwjR4XgoxViBxU3cyi9aav5ttCPKUHPj8F6o4l3LMoc2CIjG/q8wVcCsZuF4ayG/ySM/ZK6edK4M+hB7IbNzuegpMSQtfNNWIekp+4gqZuZFqs6LtiIRGe9MkgiTcynyA7QAekQzhecNUE/hWXvFt4sO9l0j9B[/tex]当 [tex=2.714x1.214]Qw8pOrIz3TvspleB26JBfA==[/tex]时，有 [tex=11.143x1.5]lYUwWl1yYjs4J+vkWEgoYsFTHpDQghOa2rXWX/3OKolOEz2+ftkm52xBTdn3gByqoBIA119pdlMJC9HU/TnTbQ==[/tex]因此当 [tex=2.429x1.071]8zpXB85KiofkRevQFrdlFA==[/tex] 时，对于任意的 [tex=3.0x1.214]bexwNhG9i8yLxJbxTfm8Mw==[/tex]有[tex=5.214x1.429]lYUwWl1yYjs4J+vkWEgoYjEM0qxuCaf5AsPx0uDAGKI=[/tex] 即 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 为正定矩阵。

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]阶方阵，[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵, 矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex], 矩阵[tex=3.071x1.0]PxoG+lJftcaSXuD7xhU13Q==[/tex]的秩为[tex=0.857x1.0]5o/cLuWaJfzEVwUboXrosw==[/tex].试证[tex=2.071x1.0]USs9GFT0Wu9uFkvPUS/nkA==[/tex].
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵. 若 [tex=3.214x1.214]Zd4LbMRJAkCJfdBwm7Q3pg==[/tex], 求证: [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个列向量线性无关.
2
设 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是实 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称矩阵. 试证 [tex=0.786x1.0]VCFC+VP8w+sMJeRvvNnjBw==[/tex] 为正定矩阵当且仅当对任何正定 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]PutU1cWdyHyySBp7YfCWhQ==[/tex] 及实数 [tex=9.714x1.286]oUHjocG8NyrFpz5xluPGjVBwMqdo0SsQbqcFfRrPl5De1mcdBqGoXCbTQU2+CJKBWCubJ4DGp1EJ8LN1Lp9fGQ==[/tex], [tex=3.5x1.214]OwSXGS2Xb/MLUGvk44HeeUvDzEABepl8Va4Fc3Yyq5w=[/tex] 是正定矩阵.
3
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，证明: 存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=9.143x1.429]XRMmUOtjtKMyseaeIn9jPM1TnNKlMhqAAioUZ3jWn/FX+SyCCFosC01uB/CWa/Kl[/tex], 其中[tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角矩阵。
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, 满足 [tex=4.071x1.143]23C06xV+qahUl1T3xcoZnwRQpH8YtXCwkd9Ub4sG38M=[/tex],证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化.