设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 实矩阵. 求证: [tex=2.571x1.143]OMF2hI48i4CoSFu5QCPfBr/IHEqik0sFNkVIcBdFl90=[/tex] 是正定阵的充要条件是 [tex=3.643x1.357]UfZKFwmIjVvXCd9ebv0V4w==[/tex]

2022-06-04

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 实矩阵. 求证: [tex=2.571x1.143]OMF2hI48i4CoSFu5QCPfBr/IHEqik0sFNkVIcBdFl90=[/tex] 是正定阵的充要条件是 [tex=3.643x1.357]UfZKFwmIjVvXCd9ebv0V4w==[/tex]

答案：

由 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的正定性可知, [tex=2.571x1.143]OMF2hI48i4CoSFu5QCPfBr/IHEqik0sFNkVIcBdFl90=[/tex] 至少是半正定的, 并且 [tex=12.286x1.429]tHgqlAxOlcnUt+TOvu5hCI0OLopFbuVHRuEaXQu67YVSBEB6xN/Yz+YctB3glYcizlzUeA1BgL5hsH7rczV9ocXyNi1N3jcZ6kpmkRoMgzk=[/tex] 当且仅当 [tex=2.929x1.0]kN6eZaaPTPzHg6HjoLBzqg==[/tex] 因此, [tex=2.571x1.143]OMF2hI48i4CoSFu5QCPfBr/IHEqik0sFNkVIcBdFl90=[/tex] 是正定阵当且仅当 [tex=2.643x1.0]LTFtuTG1XGNG6ZKGcYObog==[/tex] 只有零解, 而由线性方程组的求解理论 可知, 后者当且仅当 [tex=3.643x1.357]UfZKFwmIjVvXCd9ebv0V4w==[/tex]

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是同阶半正定实对称矩阵. 求证:[tex=7.857x1.357]ok49kgtlJvgB2mMZFrrCSMFn5Knis2N1x2+nC9aTezCOWoN/BhsJ24bEGyx0+ZR9[/tex]等号成立的充要条件是 [tex=2.357x1.0]g15fJa5afUA5MawCLYMXqQ==[/tex].
2
若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是同阶实矩阵且 [tex=3.857x1.0]M9rQvfhGD5Rd9PNzTpEW+Q==[/tex], 求证:[tex=4.714x1.357]aetk08O2fBxxfDYsBQeNJxjfM7dfOP3zXkBSSg7e8oxrfAZ/oPxaATaH5jBakYmz[/tex].
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, 满足 [tex=4.071x1.143]23C06xV+qahUl1T3xcoZnwRQpH8YtXCwkd9Ub4sG38M=[/tex],证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化.
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵的充要条件是存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶非异实矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.286x1.143]Ys46PWl0/Kt6EeuPQmIYUVrqckiP2yTAu4+gPWxyAI8=[/tex];