设[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]定义在闭矩形[tex=4.857x1.357]5bV4pp2zYok4MNWGJLRzDh3KJPHhgyMqCfsOEOfUHtI=[/tex]上，如果[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]SAl91p0eolpEKYGm1OHiFQ==[/tex]上处处连续，对[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex](且关于[tex=2.0x1.357]SAl91p0eolpEKYGm1OHiFQ==[/tex]中任何[tex=0.786x1.286]nU+nrs3E2fr4zd4T9M4cog==[/tex])为一致连续。 证明：[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=4.857x1.357]5bV4pp2zYok4MNWGJLRzDh3KJPHhgyMqCfsOEOfUHtI=[/tex]上处处连续。
举一反三
- 证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。
- 设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在有界开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一致连续。证明：(1) 可将 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的边界；(2) [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界。
- 设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对任意[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=2.5x1.286]EPSGJZaCuwY5xHx7jbphAw==[/tex]适合方程 [tex=8.286x1.357]NrfAfdVJZxj47IYGp0SatnPBpQm8CbV+z0k8TH8YZfo=[/tex]证明：（1）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在一点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 处连续，则[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；（2） 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上单调，也有[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=4.0x1.5]o0EugHY/eN16Hz+QLo+BIUiKWbXKuxVC0tSzj7xDCHi+kyFognSyy6B7Ak0bbIxH[/tex]中的有界开集，[tex=3.857x1.214]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2ZtLvl+pxnfDP44ZAfSBunI=[/tex]为一致连续的函数，证明：（1）可将[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]连续地延拓到[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]上;（2）[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上有界。$A$ 上有界.[br][/br]
- 若一元函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，令[tex=20.071x1.357]/rwdubLtLJNPC5bDZKMdplZs6vKwGLqlMxuvniBK++f00TF27V2iNVo2wLH9ZogrgP5pGzIyNj6RNMO0P9SOSfJJ9ec7N9tSZ9wao0B+mG4=[/tex]试讨论 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上是否连续? 是否一致连续?