群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是循环群当且仅当[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任一子群形如[tex=7.357x1.357]couhwum1HK7JEzek3cDUJDNzQ+FKGEPyYQh3/kKY2bvmmvlz8rxcaYBvsqbVY3AS[/tex],其中[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]是非负整数.
必要性易证,只证充分性.设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任一子群形如[tex=7.357x1.357]couhwum1HK7JEzek3cDUJDNzQ+FKGEPyYQh3/kKY2bvmmvlz8rxcaYBvsqbVY3AS[/tex],其中[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]是非负整数.首先设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有无限阶元[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex].由题设[tex=6.714x1.357]QoAz1x4KiSexz9hRYqIrcBmhGSPu1ixO9X4FSdOAR3w=[/tex].于是有[tex=1.929x1.071]Gy5RXmAMMUr2zKKdxn7d6w==[/tex]使得[tex=2.429x1.0]hungEL+MERY6D89EMQn0Bw==[/tex].由题设[tex=6.143x1.357]bdodSiOObUpYUbBZPoxkZPMVo2nyh+HrCFRaIXTBd9Y=[/tex].于是有[tex=1.929x1.071]i6GwFUUULlWIGhHSFc+v9w==[/tex]使得[tex=2.143x1.0]G6iDCUOhZdhH8DhtIiGkoQ==[/tex].因[tex=5.286x1.357]PkjbYEUKXmU5j8IIxcK54XyHLamdCnuPpsfv8mB8tUy7Bo7JT2srNzFh2Guey1yO[/tex],故有[tex=7.357x1.214]PGBl/BsyXsCNROX1LlhH0WYAIO6Z3ltusp4IWXLvtMk=[/tex].显然[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]是无限阶元,于是[tex=3.5x1.0]dL/44bgz/5liencIhg8ydg==[/tex].从而[tex=4.571x1.214]pR4VsybeYos+MTp1StssdQ==[/tex].于是[tex=4.857x1.357]e0v5Crjp8ZJdQVv4ZbZLY4e2EaaQoy4iAIlV43qO7QQ=[/tex]是循环群.下设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中任一元的阶均有限.容易知道[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有素数[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶元[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex],则[tex=3.286x1.357]YspPu7Hctnc+cjI4FpmSQeHJZNBK6k7e1fOBZpr6hNI=[/tex].设[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中任一元,则[tex=3.0x1.357]0PGO4miNPsxCg8wwvOSgM0BSjo3ysVTQ6gKZeI9I4uk=[/tex],故[tex=2.714x1.0]Q44VamyZ0kCo41vFz9Yjkg==[/tex],从而[tex=3.786x1.357]YqnKEqxdu16DKJrF/KW3QQ==[/tex].因此[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中元的阶的集合是有界集.设[tex=5.429x1.357]q+yOYb9igtYnvoSKyA1L9eXqnfNrL7yiIkjqw1beuLpigAbwsku94Ot6E+SKyTSK[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中元的阶的素因子的集合.设[tex=3.0x1.143]ttU5Kg3O2BnE/eWrnMdkxw==[/tex],则[tex=2.714x1.143]UkEumxmNEPG+P8VZI7SsCw==[/tex].因此[tex=10.357x1.214]nEygiCy3FifRJc0oj+d9nR8JZUqRyM/8qOqOb69Z38nr53weIa/4qK3+CDkHmFZu[/tex],即[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任一子群均为正规子群.[br][/br]设[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]是素数[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶元,则[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]是中心元.事实上,[tex=7.143x1.429]rMG8gZ7FIf8oi9i1QV03yljTGMmfBuRuYqSc4t+tsaY1Mv3ReQsr5e7Uu9iMS0lZ[/tex].不妨设[tex=5.357x1.214]CbvPFhRQbRDWcjQ/QezfXQM+AoHg07h3Ye5gQZEoXAI=[/tex],又[tex=4.214x1.429]AFiFxYy1gB3BY4hakZEldHu3WaFqmV6ig63xQ4Wh4qE=[/tex].于是[tex=5.357x1.429]lFj2aE0yfBc6rtwGSY34XKnviEQi5yCye82EOTSOVdQ=[/tex],从而[tex=4.286x1.429]cEE2XWuo1RLN3efCE6XSeg==[/tex].因[tex=4.643x1.357]RDWivtrdRhKQQY04heIVXg==[/tex],故[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]由[tex=1.714x1.429]Lx3Sd/5V1IzBkkbc0ylE7A==[/tex]生成,从而[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]的幂,于是[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]与[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]可换.现在对每个[tex=0.786x1.0]iQS18Ys3r/RNv1lHnYTb4A==[/tex],容易知道可取到[tex=0.786x1.0]iQS18Ys3r/RNv1lHnYTb4A==[/tex]阶元[tex=0.786x1.0]7ZZZ9lIqev6FqJHc++drGw==[/tex].因此由上所述,[tex=4.786x1.0]7l5KInPGlJPuHwQZHIMUr6tF6fmb39GrB2XkWy9Y9uk=[/tex]是阶为[tex=3.643x1.0]6kTJ946GL7ihxwcr4p/U8Wb/qmOh8GXVnrM3voRORrk=[/tex]的元.于是总可取到[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中元[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex],[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex]的阶有因子[tex=3.643x1.0]6kTJ946GL7ihxwcr4p/U8Wb/qmOh8GXVnrM3voRORrk=[/tex],且[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex]的阶是具有这种性质的元的阶中最大的一个.则[tex=3.357x1.5]1slcC80IBOcptcCOPC9lU/NdkX8hnOGNkB25U1/r1Ww=[/tex].于是有[tex=2.286x1.214]M165QxFbzk2UQaQ23z6c8w==[/tex],则[tex=10.5x2.286]ISxNX1/TZ/bDeJNM80jw87puuJB+yYJGZXql2eAG23gH5y7PX5JGStYMI7XQIjhRzBKI9zF/abJz7FyB9HLsqQ==[/tex].则[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]的阶也有因子[tex=3.643x1.0]6kTJ946GL7ihxwcr4p/U8Wb/qmOh8GXVnrM3voRORrk=[/tex],故由[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex]的取法知[tex=8.143x1.357]F7e05Mt//lc5sCSGDs8e243ja9DeS5o6dq25NIn6SRINWA2Nb6NjrVxQdh1Nspqq[/tex].从而[tex=4.429x1.357]cbJfMG7qaBFCGytdKjDW3g==[/tex]且[tex=4.857x1.357]B5vFzgwVN2kzPEKkX0lB3w==[/tex],从而=[tex=6.786x1.357]tu7NySl9MJ26YzrJ603Ex5SK1EM2X0uLfP48hluNYqrl+A/UKYC1pl4WxKJZFon6[/tex].设[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中任一元,则[tex=4.857x1.357]JAJiQfu98GPMg9BxIrvz4w==[/tex](因为[tex=1.857x1.357]rilQpCQNNARjyiBOB9jQLA==[/tex]的素因子属于[tex=5.429x1.357]q+yOYb9igtYnvoSKyA1L9eXqnfNrL7yiIkjqw1beuLpigAbwsku94Ot6E+SKyTSK[/tex]).于是存在整数[tex=1.357x1.357]P7eOLqXnlEOElYdmuLM0Xg==[/tex],使得[tex=5.286x1.429]fmU+HprbcGFk8qJe4h3DZRNnw0vhU07PYHkFgS0fIu0=[/tex],从而[tex=7.857x1.786]eUEckaim8ii7Eud9rjOLzNDKv1xiLC8U2J48kQ7P2izjdZSvc6I2WLu5vrZJjZZ1VDcXPkksKCikI7imyPORtg==[/tex],即[tex=2.929x1.357]wCO9ZLWiyS4lmCApceIyYg6Q7W2uaKuV9Ssqf5RV/v4=[/tex].
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶有限群,试证:若对[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的每一个因子[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中至多只有一个[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]阶子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是循环群.
- 设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]分别是群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的两个子群，试证[tex=2.643x1.0]lrQpQJjhcqz2IrqWzoz5oQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群当且仅当[tex=2.857x1.143]dn1vHZFzrDKY4vcBX/vnYQ==[/tex]或[tex=2.857x1.143]YsnD+QYv2kSLoW/sGeLXRA==[/tex].利用这个事实证明群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]不能表示成两个真子群的并.
- 设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是包含在群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的中心内的一个子群. 证明 : 当[tex=2.143x1.357]AgjHffxzQb9fKjeZTf8lUg==[/tex]是循环群时,[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是交换群.
- 试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.
- 如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.
内容
- 0
真子群[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]称为群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极大子群,如果不存在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex],使得[tex=5.214x1.071]GXs9Ml7t4ZqYgZH/R2m5cg==[/tex].确定无限循环群的全部极大子群.
- 1
证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.
- 2
设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是群,[tex=5.286x1.071]VvvX0GFuqWNzrMDUrg0hNQ==[/tex].如果[tex=5.929x1.214]WiIhW06O4h8DrzyJYgOSG//n94M5NRQ5+HQkzzjvS5punSAJ99du6II5VrE1GjPb[/tex],[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是否一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群?
- 3
群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非平凡子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]称为[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极小子群, 如果不存在子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]使得[tex=4.786x1.143]Dzl5s9mAcKaJyOhW6nnalZl2sR7LSXZSzGUFcgLlF5E=[/tex]. 试证: 有理数加法群[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]既没有极小子群也没有极大子群.
- 4
对任意群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex], 定义[tex=10.143x1.357]CoN1pcRsJ7DR7OHuJuT/Y6WLPPFkWy8djCHZd66qXW0=[/tex], 一般地[tex=8.5x1.357]pQKhQjGlcEnpCp/2+GflxLqjk+WQhwfW6iHhZfVRaXerIVBkr86J4xcZiBMnwNOW[/tex]. 试证: [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是幂零群当且仅当存在[tex=1.929x1.143]zSgQCp6EOmUOQD1jsCLYqQ==[/tex]使得[tex=4.714x1.357]ksZrYkYGoWJI+F4eIKmOfg==[/tex].