设X是紧致Hausdorff空间，F是一连通闭集族，其任意有限个成员之交是非空连通的，证明[tex=3.929x2.786]0Xp7qj0oH/RCsakMehW3epBNelAdvrSWSEWMsbuaDO0=[/tex]是非空连通的。

2022-06-14

设X是紧致Hausdorff空间，F是一连通闭集族，其任意有限个成员之交是非空连通的，证明[tex=3.929x2.786]0Xp7qj0oH/RCsakMehW3epBNelAdvrSWSEWMsbuaDO0=[/tex]是非空连通的。

答案：

非空性：因为X紧致，F是具有有限交性质的闭集族，因此具有非空交。连通性：用反证法，假设G不连通，则[tex=4.5x1.214]DuvO3d8ROy3WVnJ0anuNrA==[/tex]其中A,B是G的非空不交闭集，从而也是X的非空不交闭集。由于X是Hausdorff的紧致，所以A,B也是不交紧致子集，因此分别存在开邻域U,V使得[tex=3.714x1.143]v+LVNpNXyMbGqQC38DwEGlyFjOKWcX13ZuwgU0KfWy0=[/tex]。令[tex=5.5x1.357]bDff4lF6ZoanrU5LBleHaOcq5IsWEUDNWZ3RtYaziLY=[/tex]，则[tex=1.214x1.214]ZgwmvWDJurbla/+ZaFUPow==[/tex]是闭集，从而是紧致的。记[tex=8.143x1.357]WhW6Lb2A3qEkDuYuPe+4MC1KOOJ+pNavz08kGGM4pzeu8Yw7E9DAsfNBmvLqKC/8EMM+4DKH9Re8hH3OD9yTJw==[/tex]，则它是[tex=1.214x1.214]ZgwmvWDJurbla/+ZaFUPow==[/tex]的闭集族，并且[tex=20.929x3.429]YOAYy5xLa22q6qcKmcwwX2etMkm41X9nLr6padXW4lgtQ/3UPKhDya+VHbv3DG9dlnBPsrdYPG9IrmRxPW+8qMawCiHwJR7+CO53I8kN7AaiB/5QAxTod43ULMYk2Suq50M3NTcKl7ZvonwXWij7AmvS+qL/rVEPTN7BIM/GdmY9fwBj7by9MQupq2n1JwRr[/tex]所以必存在有限个[tex=5.857x1.214]/eC8uUOqMEUKztZzWNrY022ocwFaw7+TkVulfJdx7K4=[/tex]，使得[tex=13.143x1.357]3EKMWPTyr4Wj4+NwAKjOhk0WitSuFNx9BFWnqDnHORQ8R7cIOKEZ0qs1bRcA6QjjyZWwmVvSxdMP0BoYxgqao5DoVrKslzNsZAH2MCv6uimQqolS8+OkPRa1bYTCmvl/[/tex]（紧致空间的有限交特征），即[tex=9.929x1.357]3EKMWPTyr4Wj4+NwAKjOhghjVVEFvhTWMuMZWuVDDjfCtzhM1R6j72CvX8kOUtvLC2fegSxmqCRPpYlW4vMvEg==[/tex]，于是[tex=11.357x1.286]lsr3L44VE6fDccFAA4VtkOl3M+XVo5zm3q7VV4OgDNoJswWs5Sr5Wcy653skdNnl1nQThrlhInZNG0oZOgjh+A==[/tex]。因[tex=5.571x1.214]lsr3L44VE6fDccFAA4VtkDe9kz53NGiPWupFXaweN7I=[/tex]连通（假设），所以它必包含于U或V，从而G包含于U或V。不妨设[tex=2.857x1.143]I0QlXDBplV0yy2gCXeq2Nw==[/tex]，于是[tex=4.0x1.143]ll6XdQ4nU7aPV90aKfhIkbqI/WhDxY9W5pifJf2rPHw=[/tex]，即[tex=2.929x1.143]OA06lgYWYGf6CKzQQULvMQ==[/tex]，于是[tex=2.071x1.143]lW+V34Qxox6UZEbKhcBajg==[/tex]，矛盾。

举一反三

内容

0
设X是一个拓扑空间，[tex=3.571x1.286]h5RrWxwu2hEJ/oVLNvaT6w==[/tex]是连通的。证明：如果E是一个既开又闭的子集，则[tex=3.5x1.286]cj4anearKiJmCnSM9HoBfw==[/tex]或者[tex=3.5x1.286]bxrEN9KEOfgV0TXNLzD1LWfnW9Pa9BIlgSfdOUekFZ4=[/tex]。
1
设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是连续映射，证明：如果[tex=0.786x1.286]YmC97Clv6J6k2IyNV61eAw==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的一个连通子集，则[tex=2.143x1.286]lYyNPJbhUCYK1wTeekhvmA==[/tex]是Y的一个连通子集。
2
设[tex=5.214x1.214]l2vYijvwphpA0Bdo8olvNhKvOVd4RCELKut0jj6S5qs=[/tex]是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明：（1）集合[tex=9.357x1.357]QCqopxinhs+TvVYgLw48vVpO4x/Rie4gzAlmw62rJGM=[/tex]是X的闭子集；（2）如果A是X的稠密子集且[tex=3.714x1.357]fo4X83uQk0aLKgSpBjpSMw8oj58YdJ5bCiu5d4gfWQqZvgjwV7CYEcyqXJHmRmoq[/tex]，则f=g。
3
设随机变量 $\xi$ 具有对称的密度函数 $f(x)$,即$f(x)=f(-x)$,证明对任意 $h>0,有:[tex=16.0x5.714]qlmQA1D8xtk2KTRQ/XTaGu/EiNAMcSZvQOLN/o9oTzkJDDaZqPzVFFOEYV0IlvIxg+NLbN5HBxE9HqdnYcUMk7x3J71PLc6IhnZMY4AlQxXAfAOaQfAg5wIdOMyd2MjRq5Bg1tTortQBDyYNTTp6nTzqLiGnNc7VRx/woKeV7i0=[/tex]
4
设函数f(x)在[tex=3.286x1.357]64m0xE4nFlaKGIakApV0PA==[/tex]上连续，且有f(0)=0及f'(x)单调增，证明：在[tex=3.5x1.357]vgrW1/jK/GZ1TOWaPFIQWA==[/tex]上函数[tex=5.071x2.429]KmCvFjqAEA9O51+9erVGP+KtDDqVtXZQWqxj1eiTO5k=[/tex]是单调增的。