解答下列问题：若 [tex=6.643x1.5]V9mWZcfLDlxj1YqljN7dDsUcZ2Q9lktvcKsp1xt2nhtSz1NYg0Ua5Am6ok0Yr17m[/tex] 是一一映射,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上有无穷多个间断点.

2022-10-24

解答下列问题：若 [tex=6.643x1.5]V9mWZcfLDlxj1YqljN7dDsUcZ2Q9lktvcKsp1xt2nhtSz1NYg0Ua5Am6ok0Yr17m[/tex] 是一一映射,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上有无穷多个间断点.

答案：

(i) 假定 [tex=4.143x1.571]eSBAw3ddS33i4HOhDJIk6wBBeF14e8wMY8R5W9XALSM=[/tex], 则易知 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是严格单调函数, 不妨设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 递增. 此时若有 [tex=3.857x1.357]5s1Pyp2g/W5DyoDffIRFvJh6j6qViQYC//gM4vQX+ZI=[/tex], 则 [tex=18.5x1.357]MMLNeezoexC37XyLEVctXxkEUhqJ5bF4mGxdvMqEUV2mRfs9rF9vx0dTyB3UXLamqUPw/GczpA+6jyqnqBHJpFjXALwUMBK0ZL73EfSGYbY=[/tex].这与 [tex=5.429x1.357]Aigva/1iPLK8F9937iYubYtOjR4mWlGgVxIsC2kGGVQ=[/tex] 矛盾,因此 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 不是连续函数.(ii) 假定 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 只有有限个间断点: [tex=8.143x1.071]O1d9CUaxjBlCdDNEFAwmYPn5rnsH+etEPmWXuUI/nXk=[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区 间[tex=14.571x1.357]cyeEnshV33NJrw8G3GvhEDpzifBjsalKU591aII55aaakc4y4evez7dDdm7aspn0I/IAeQ9yuVv6fdn+9LxkBKTV+PvO4B/jfZNQErH22g5N/Trq7aQ9EZvkp1fEs3pa[/tex] 上严格单调. 由此知位于 [tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex] 轴上开区间组[tex=18.643x1.357]BK5/UR7lxPrxq4gX8hhnfW/bULVDWHhhq24UBdRyZ8EZAla6ZLPYlBfyv3+JEsVaeV2Tl8OIxEqpLi39/J5jhXHd+HK0ylU8H2fINVquvPO+dnZF1vZllnkuNn4kjQOz7sBBhWEslchHCtLavORiorkFbK9ZP3buop1vJ316eInS6SnlYA0xYrjLX3F1jTQe[/tex]是不相交的.从而点集[tex=23.429x3.5]fXLYSMjqIcIZYS59aWmNAFQD79bAkaT+80vep8b2sbng6H+7PUo32HkuWopKAYgZdW+f8b4zmCRyzaLKMVKyWlDrbw07pJn0jnM2S4WVMAHRqsq1xMjVf+1Q42nz0yfk06gIr0EcTzArFC81yY0j2fgCrVcONynkY2pc/jv1wgSn1E7OppPSB1y1NOkGXlUMIMhKFgPWXh68JdzkT0PmpUdV1ocOKVAcKWawVfp8ZsVTG/mJH2mgW3tycuFVSX3ZRWaR34llCSQXdMrgSptxqQ==[/tex]是 [tex=1.929x1.143]aJigoMJPQig1KIbQpW0DPw==[/tex] 个点;另一方面,点集[tex=18.643x3.5]ybkJkO65moxyTYjGL5W3bwS3/p/LD2rzSYSD787LtTP6CUOK3KmhO8ZuM5T6cNVHH436MvZpnFPRW2yzLiKTcCdzEuYZ1mBmT1lC/66z6HfuLoYfXDMTK8wKNjBkY7pXCyp6/PeY1CLfYDsgNqjtOhOx3Wyagje4FX9oJMs5TxPKM1Bd1/B2CxkkgEGGxkmPZAKvRP220AkKgUeBENOCPA==[/tex]中的点仅为 [tex=5.786x1.0]bKUC97GbQKY2zeG3LTTxIQea2bCu7/vPkSZojYJOG+M=[/tex], 这与题设矛盾. 因此, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 必有无穷多个间断点.

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上有2阶连续导数，且满足方程 [tex=10.714x1.5]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq53sXv8i7JEFdpsaW068Ose09yUYGhX1v6tjCCNywn3QNHpR1XTDhLUiT7SyEWJ5lw==[/tex]，证明：若[tex=5.571x1.357]fZPOLhn8pxWflc83qanxJA==[/tex]，则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]上恒为0。
1
试证明下列命题：设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是定义在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上的单调上升函数,则点集[tex=22.857x1.286]xMDhd7sQXxYfpZY/36rsdY1hFi8KnZ4xDJTnSSDEWI/rRhEKapvKQdIii+LSA/mavuVkfSsBtqOfLSS0p9JK1HEcCJZSEZVXjwpnyM5S0sWT6cQ0mSiXABiWrZ/9TXrC[/tex]是[tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]中的闭集.[br][/br][br][/br]
2
试证明下列命题：设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]上非负可积函数, 令[tex=12.571x2.786]REgeR8L4aVr3W1xEAjjPre+3bquEGoUxF5husXDwSvxilZqS+L4TlcRA5u/PIjLmMqqR5A38/9XBrISjEg3EqA==[/tex].若 [tex=4.286x1.571]Ka9idYLLUWyEkJ5APQ1o7IaGIdV5fs4siTylPOTUJ/c=[/tex], 则 [tex=6.0x2.643]e+yUMNjQeuJYe6l0ZbTv1I5iWNp5x+4YylwOv2sfjKc=[/tex].
3
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是实系数多项式，求证：(1) 若 [tex=4.0x1.357]4xX2ZK17ay5biPFwGeUUHA==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 无重根且有奇数对虚根;(2) 若 [tex=4.0x1.357]tiPcAPj/8sVdzkpb54VwWQ==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 无重根且有偶数对虚根.
4
若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于零的多项式且 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=6.357x1.357]pGmCxVYMeXbY0RBdFv1lOoYMiK8I0KiEOR7VpOaifh0=[/tex], 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的根只能是 0 或 1 的某个方根.