设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]阶实对称阵．且正定，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]为[tex=2.714x1.071]319e/AVA5VexfWBQXpJ9ug==[/tex]实矩阵，[tex=1.071x1.429]FW17NNOy+nNs0P4RJiU76Q==[/tex]为[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的转置矩阵，试证[tex=2.571x1.429]uCtEJJAWUMGXtgmW8PsAZg==[/tex]为正定矩阵的充分必要条件是秩[tex=3.214x1.357]9Wef3TrL8ArBiBvvnB4k/g==[/tex]

2022-10-25

设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]阶实对称阵．且正定，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]为[tex=2.714x1.071]319e/AVA5VexfWBQXpJ9ug==[/tex]实矩阵，[tex=1.071x1.429]FW17NNOy+nNs0P4RJiU76Q==[/tex]为[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的转置矩阵，试证[tex=2.571x1.429]uCtEJJAWUMGXtgmW8PsAZg==[/tex]为正定矩阵的充分必要条件是秩[tex=3.214x1.357]9Wef3TrL8ArBiBvvnB4k/g==[/tex]

答案：

必要性 用反证法．若秩[tex=2.714x1.071]aTpYjUntJwHrtlUWCSmXVg==[/tex]则[tex=2.643x1.0]1iLOJ8NVtGfLIHqjI/0IOA==[/tex]有非零实数解[tex=0.929x1.0]XQ8c0totc8uufRPOvpPxwQ==[/tex]存在，即[tex=3.0x1.214]Kz1GEARfLrr6MGU/GS0A9g==[/tex]，但[tex=2.786x1.214]Rxw9EmFxToAB4vn0Clv3UQ==[/tex].又[tex=2.571x1.429]uCtEJJAWUMGXtgmW8PsAZg==[/tex]为正定矩阵，知[tex=14.429x1.5]mdiic/QyJHjdIPOCNl09XbG+drM5nTizWTj9thNYGV0W0FM0WJDo4JzaHNTeDxw2hfY3W+HxQnn7F1r98eSFXwfNaDbrcYwbtzcGLVjJ8nEfiUD09LWuK+Bk/ctGS+atWFuVfu/KMMJ2ktUKTWj8QQ==[/tex]（1）另一方面，因为[tex=2.643x1.0]1iLOJ8NVtGfLIHqjI/0IOA==[/tex]所以[tex=7.714x1.5]7qMH5zOVGkFRwfyLulKydcK4Jm5X6xARV5xWBCAaodvjQNcMdqnRx2bXHkkJFTiEisO29MNVAi3K4Lmq5OgaMw==[/tex]（2）由于（1）（2）矛盾，故秩[tex=2.429x1.0]uqpSpQq8Be5cDYCwy5PKqw==[/tex]充分性 首先[tex=13.857x1.5]PI8nrZjL+t7BgCwWDGzRHnGWlfuDJSo8Iur6prj1+VTkWNuXi89RDFlOlQosixBYqWqOHE7DHbEigYMHmV/BZpS9M4wsTMtvtPmLAVAnEgeB9Re5CaOtUqxQ4nnfojtN[/tex]，由秩[tex=2.429x1.0]uqpSpQq8Be5cDYCwy5PKqw==[/tex]知[tex=3.214x1.214]aI9+QpI7eWMpPzQf4kblRw==[/tex]而[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为正定阵，故[tex=12.857x1.429]aecJoWuRSGpkK8tP6GXRdfqP3m6XD39r3U94RCFO0LIvgNUepztoWWCXyJcoa8rQgtEbqWMLjKmhUEfU0CJwdU0KLpTTxem0jJbqIKbBR+s=[/tex]此即[tex=2.571x1.429]uCtEJJAWUMGXtgmW8PsAZg==[/tex]为正定阵．

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 实矩阵，且 [tex=5.0x1.357]Q3YAMjEVqij40tkLt99y6Vzc7IFJhbKAT8/jsnT2F+tKFLqTa8zkNFoEctlRFVSs[/tex] 求证: [tex=2.0x1.214]/3uoMScPM+pbaS5J89At0A==[/tex] 为 [tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex] 阶正定矩阵;
1
设三阶实对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值为[tex=2.857x1.214]HHxRJ23zQgdYG79XNeKJ2g==[/tex], 且[tex=5.143x1.357]pQGTsi1jwQF1Le0nyhymONqZ4RKaGrJcTqeUPSypnHs=[/tex], 试求矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的特征值. [br][/br]
2
证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，则[tex=2.786x1.143]7OI9Dpqsob5Abz33m0rKpw==[/tex]是正定矩阵.
3
证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正定矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级半正定矩阵，那么[tex=2.286x1.143]7OI9Dpqsob5Abz33m0rKpw==[/tex]是正定矩阵。
4
设[tex=3.143x1.214]fC00PSr7EsIcGln2s0pq/A==[/tex]为3个随机事件,则下列结论中正确的是未知类型：{'options': ['若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]互不相容,[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]互不相容,则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]互不相容[br][/br]', '若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]对立,[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]对立,则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]也是对立事件', '若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]包含[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex],[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]包含[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex],则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]包含[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]', '若[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]独立,[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]独立,则[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]一定独立[br][/br]'], 'type': 102}