设[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是有限群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的自同构，令[tex=9.429x1.571]UHvZ2zvESKkDapN8v8oLOhiTCdj7DZqARhm61XW4KyK2H859EckJG846IuTt8RmL[/tex]，试证：若[tex=4.643x2.357]DN+jsGYmpAWDFgIZCDn98/2ozYGjzL5kYg9PStSaAz8=[/tex]，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为[tex=2.0x1.0]D410Ra7tSYZfMF6ZtYg2KA==[/tex]群。
举一反三
- 设群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中每个非幺元的阶为2，试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]为[tex=2.0x1.0]D410Ra7tSYZfMF6ZtYg2KA==[/tex]群。
- 设[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的自同构且满足：若[tex=3.071x1.357]Q/q3LVyZlHbX74aM8tGmAg==[/tex]，则[tex=2.286x1.286]xXqdu4cS3aoIlAyMLfVUZA==[/tex]，证明下面结论：若[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群，则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个元素均可写成[tex=3.357x1.5]SoKkuOpJwNVMR/P+VdeDRRlqVKytCacdSW0pwxTq+6Y=[/tex]形式。
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex] 为群, [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中的 2 阶元,证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中与[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]可交换的元素构成[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群.
- 下列代数系统[tex=2.643x1.357]ceH+eYnXqUT340bMKzk9Jw==[/tex]中，其中[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]是普通加法运算，试说明哪几个不是群.（1）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为整数集合； （2）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为偶数集合；（3）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为有理数集合； （4）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为自然数集合.
- 设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]或为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶循环群或与[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]同构。