设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]是线性空间  [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex] 上的线性变换，证明 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 的行列式为 零的充分必要条件是 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]以零作为一个特征值. 

设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]是线性空间 [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的可逆线性变换. 证明：[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征值一定不为 0

在[tex=5.429x1.357]RlDYBDYzlnKEOzd1Ql3pzQ==[/tex]中 求微分变换 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征多项式.并证 明[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵. 

 证明:如果线性空间 [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]  的线性变换 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 以  [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中每个非零向 量作为它的特征向量,那么 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 是数乘变换 

求复数域上线性空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的线性变换[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征值与特征向量, 设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 的一个基下的矩阵是：[tex=6.214x2.786]3BT1BgBZQ5uJXxD5dg+w29wlCih+1lhpjAuwkpfyi8StndXPsLnn4tlIVuXhjahBrIGFeDZN131CPy4AyBjcEA==[/tex].

 求下列线性变换在所指定基下的矩阵在空间[tex=2.571x1.357]vGE1SyexYI3b62kxHHRgaGihCsBgNhKfHoaQTgTBrVo=[/tex]中 设变换[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 为[tex=8.857x1.357]KPNcgolBTDI6KUqdO1HC80qmaDAQ8xyrwV1dHDotkQI=[/tex]求 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]在基[tex=20.929x2.429]ze0fzInK9G7vpB5RWMMWnlHM3sIrhG4RRy2Y/uX9qmUc42RfYoUg7kQgV7DBbOqirzQ/3mbjQvGPvBChralMUG+bDxJ7HQsWd9yraz3AqbzE+LM0cg5AYQp6SBFsy1WDBiBWPH4UPE8fSS51oNyo0w==[/tex]下的矩阵

若在仿射变换[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 下一条直线的象与其自身重合, 则称这条直线为[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 的不变直线. 求下述仿射变换的不变直线:[tex=7.786x3.357]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyluO9vFS2xRx4ZwY/EdzUnJ9tmmI9dy+VSzk+pdlx3mqUxko5MU7XH0ADmDU+R/coZIyHZbBLzv9RyL0Tg1UJ72tnm2SR7RytSMTzW8Z2vzx[/tex]

设 [tex=4.643x1.0]A4jSygN0882R6SV3eve5dyhKA/5f6aU7CkpCJuZGXtlw94feNCK40XN+rRjedTwKiT6M+7G+X0+NO323Q0MGX66zshUAJc1cAnQFN9WrDFU=[/tex] 是四维线性空间  [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex] 的一组基,已知线性变 换[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 在这组基下的矩阵为[tex=10.143x4.786]075gCzZzsMRb6HYXYk9X96ka3vrvpAflUM3U1ay2rhWeMSYxbzIA6i9pHOj+/jMgJ+B+LdRkrccbbNQF/J6EGVKcWj49gntQBbYc8e82Dzet9XQOVHfr2JFiMdTaNdYKC6AOvj05/eFigNzVPIzpVVvcd34oo5JxpLTixSWCM3A=[/tex]再[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的核中选一组基,把它扩充成  [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一组基,并求[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]在这组基下的矩阵

在几何空间中,取正交坐标系[tex=2.357x1.214]3RjfAr3amBW76r2oOHMPuw==[/tex] 以[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]表示将空间绕[tex=1.357x1.0]IsSGeSWErMG76Jo82ICf1w==[/tex] 轴由[tex=1.286x1.214]9H9NqXg9LzoLkJVBphJYyA==[/tex]向 [tex=1.286x1.0]useEKIyrtOCaW44CFed+ZQ==[/tex] 方向旋转  [tex=1.429x1.071]HrADEgZoqo90D/eowIUddQ==[/tex] 的变换.以 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex] 表示绕  [tex=1.286x1.214]9H9NqXg9LzoLkJVBphJYyA==[/tex]  轴由 [tex=1.286x1.0]useEKIyrtOCaW44CFed+ZQ==[/tex]向[tex=1.071x1.0]5WqoMjyFHJkNhNwxN5cDpw==[/tex]方向旋转  [tex=1.429x1.071]HrADEgZoqo90D/eowIUddQ==[/tex]  的变换, 以 [tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]表示绕[tex=1.286x1.0]useEKIyrtOCaW44CFed+ZQ==[/tex] 轴由 [tex=1.357x1.0]I9DmXheNV8zWDGVGe+UKeg==[/tex]向  [tex=1.286x1.214]9H9NqXg9LzoLkJVBphJYyA==[/tex]  方向旋转 [tex=1.429x1.071]HrADEgZoqo90D/eowIUddQ==[/tex] 的变换. 证明 [tex=6.429x1.214]u7R2lAPCVNkD0qjSLpsic1fGL1lXkpi64gxjKUWgDNBnISvcoYuj/u4n5Mco8TPOtjTTv/xgwa7Xfq6sUGHf0g==[/tex][tex=4.786x1.214]LWkxwTYD48E4tDCt0RyhtQ3RqvuZ12YrRhVl2m7wDY20vvwjk4ka49RBAaO6l1+jfvQAa49EinezpXCll0WrkA==[/tex]但[tex=5.786x1.214]FtVQDntS3JcSJBC7B0KGfXV/TzNzPoZIprNxvbOZwyul7m02smNLizvhfarqVLdDVoDXlQNqUNkeiJDJNoLxiQ==[/tex]并检验[tex=6.143x1.5]QpBjFb+KQZqnnAzImuiynLWzDZdj/KC2dkzrV5ZJ0bnQiTLbDOI8GqhvApSJwBwEIPMjv7sDok2syuL7BRRH4g==[/tex]是否成立

 证明:可逆变换是双射. 设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]为可逆变换，即有可逆变换[tex=1.786x1.214]umkzA/lGqaggQDM+nhhh09myJYRUu5/6pEAdVHfe+CM=[/tex]使[tex=2.571x1.214]LWkxwTYD48E4tDCt0RyhtYBcWtJpQyTduF1EE2VRCUU=[/tex][tex=0.786x0.643]NhuTNiqjImitwKaHFutGOg==[/tex][tex=3.929x1.214]umkzA/lGqaggQDM+nhhh07H/+5I1WpXNDVJblzSP5Wt8zOi8EQ1Ya3jxpWR9hlqE[/tex]