设 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]为直线[tex=1.857x1.0]iCWMESxH27wos2YIzODARQ==[/tex]从 [tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex] 到 [tex=3.0x1.357]EOhL440P916InLemFLZ9Lw==[/tex] 的一段,则[tex=8.857x3.786]PZsOVTD9IYuiGHmz7ZGyGZCPx+tnPiAzyRepTnUMTc2V6dz//ly3ljy0RBehtmtRR7olbMPSWim66mvf3VZMWA==[/tex][u]      [/u].

设[tex=1.571x1.0]eTo7afd57BGPRgChnYu35Q==[/tex]是抛物线 [tex=2.786x1.429]NwpLVmDoqFczXVFzQDajfA==[/tex]上自原点 [tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex] 到点 [tex=3.0x1.357]zzh5M0odfVcs6RASvcqMOg==[/tex]的有向弧, 则曲线积分 [tex=13.786x2.643]hn3XOyhxPiU8EzBmMPa48ycXKhdjtRcx5vO3MTORlr1AhfIRLSsT5tgraeUs8289cMJbNwHd/siqa5aRkdahKOgmgwpd2ZY2MIGOjTsKmrY=[/tex]      .

计算下列曲线积分:[tex=14.571x2.643]XXJoiTimFs+kvHhwZAIXW5A0VN6yrWjf4Xi6W3GqF2wH8OuleJ6Y6dUFNOQX7ubEwpFRRYCpgq0XXu3KfbPvw05DJVFA9+flcPm4e+oQQROrZvWNrKj1OkYKwrE2wKlfQ78NmkXMWVmnHqQxoWy2Iw==[/tex] 其中 [tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 是从点 [tex=3.786x1.357]D3EcWH0pI78PtNfPBxDirw==[/tex] 沿 [tex=2.286x1.429]8E7zaDCibVcB0xPC0P/7QQ==[/tex] 到点 [tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex] 再.沿[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴到点 [tex=3.0x1.357]JmUd3H2DMbx2+WR7wFxdtw==[/tex] 的一段定向弧.

设[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]是从[tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex]沿折线[tex=5.0x1.357]EEB2kRbPrFvKITy+Zcbcjw==[/tex] 到[tex=3.0x1.357]8uNmpPWSDwHd+R1+oJ/jDw==[/tex] 到的折线段,则[tex=6.0x2.643]iADJGEZOhWfAMITvyrJPT4elVxrwryoBpnT1O/OnCXo=[/tex] 未知类型：{'options': ['8', '[tex=1.286x1.143]2RCI9ELV3kuTlisDM/t4/A==[/tex]', '[tex=1.286x1.143]BvqLgNGAs+LxthWgpo/5UA==[/tex]', '4'], 'type': 102}

证明: 函数[tex=14.429x4.5]3hRmRrUJOhe4GuvitGjZ3LCuDVr1Z6WdsUcr7PQPj2lGPReNCDGk1+AUMaw+yfSKpyujRyxTlaInliK3WSP6EFYwBOTk/gQ4giJPCdqwrg7Oz3m/6T/8+PSJL6AZwIcv7/LiMb99dCr5RflBir/gRm4YDetrk1OfUfq2Ni6AvOEzN/EDV07K7zCPQXv5mvPJ[/tex]在点 [tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex]处沿过此点的每一射线[tex=14.429x1.357]lQjC2/InslTKw4939cCx1UEv+Ip1VuthoNQY65VuUvfTnQ6GYBInv/mkv7wa5loZpEfgS6udFqZUPh4eFw7NfQ==[/tex] 连续,即存在[p=align:center][tex=12.0x1.857]P+MMr+pgjG457zGlmXvkwEy3rEjqKB2nSb9FJ5+Q632RQpmG6RxcKvT7E9671yuw+ybhuUJjLVvYVFTJpeImIwGOUw1wZX7g6iCuJoqOHm8=[/tex]但此函数在点[tex=2.071x1.357]/B4OpizC+GWNmgu3h9VMGQ==[/tex]并非连续的.

设曲线[tex=9.357x1.429]Wg8WRwU92NL+dTvukLgTSFsvIsvn+Pw3lJrWT+3PQ0Q=[/tex]过原点[tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex]，以点[tex=3.0x1.357]CUMLAkfG5cWI02wgI9JFyQ==[/tex]为拐点且[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]点处的切线过另一点[tex=3.786x1.357]19sbftU2oYRlwKyWrG/WBg==[/tex]，求 [tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]，[tex=0.571x1.0]TcM6B5Wrs5vy9dWrxRPSdg==[/tex].

设有连接点[tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex]和点[tex=2.857x1.357]k1fyl87ihgHd1j9V9uPr9A==[/tex]的一段向上凸的曲线弧[tex=1.571x1.357]iyz0b29FzOWj+O8UfHQWWA==[/tex]，对于曲线弧[tex=1.571x1.357]rW86OGq3hMsl9h7e/G8r9w==[/tex]上任意一 点[tex=2.929x1.357]XSSvH23cbIYXnWROlVlfSQ==[/tex]，曲线弧[tex=1.571x1.357]tD2/O1XfhtRoupoWo8qnHYa4NvYh/wGtk3C3dQ5ObAo=[/tex]与直线段下[tex=1.643x1.286]XlLEr7N9Oo7TQ6z2s+nn8WIlcroIJEExdXdlqzKqO44=[/tex]所围图形的面积为[tex=1.0x1.214]lLaJjo1WAgOsvIRtwh+bGQ==[/tex]，求曲线弧[tex=1.571x1.357]iyz0b29FzOWj+O8UfHQWWA==[/tex]的方程。

过原点[tex=2.857x1.357]YWtkApgNymqGUfnZfMRAzQ==[/tex]作对数曲线[tex=3.071x1.214]MBM6FkRKhubflZJqDSdnSQ==[/tex]的切线，它与曲线[tex=3.071x1.214]MBM6FkRKhubflZJqDSdnSQ==[/tex]和[tex=1.357x1.0]nFcXvv0f/giNM9gMTJSA2Q==[/tex]轴围成平面图形[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex], 则[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]的面积为[input=type:blank,size:6][/input]而[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]绕直线[tex=1.857x0.786]QpMollRtJtJPGZ4kKP6uYA==[/tex]旋转一周所得旋转体的体积为[input=type:blank,size:6][/input]